Satz von Gleason-Kahane-Żelazko

Der Satz von Gleason-Kahane-Żelazko, benannt nach Andrew Gleason, Jean-Pierre Kahane und Wiesław Żelazko, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz charakterisiert die multiplikativen linearen Funktionale auf einer ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra.

Formulierung des Satzes

Seien ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow \mathbb {C} }$ ein lineares Funktional. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. ${\displaystyle \varphi \not =0}$, und ${\displaystyle \varphi }$ ist multiplikativ, das heißt, ${\displaystyle \varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A}$.
2. ${\displaystyle \varphi (e)=1}$, und ${\displaystyle {\rm {ker(\varphi )}}}$ besteht nur aus nicht-invertierbaren Elementen.
3. ${\displaystyle \varphi (a)\in \sigma (a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$, das heißt, für jedes ${\displaystyle a\in A}$ liegt ${\displaystyle \varphi (a)}$ im Spektrum von ${\displaystyle a}$

Bemerkungen

• Die Schlüsse ${\displaystyle (1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)}$ sind sehr einfach. Die nicht-triviale Aussage des Satzes steckt im Schluss ${\displaystyle (3)\Rightarrow (1)}$.
• Für reelle Banachalgebren ist der Satz falsch. Ist ${\displaystyle C_{\mathbb {R} }([0,1])}$ die Banachalgebra der stetigen Funktionen ${\displaystyle [0,1]\rightarrow \mathbb {R} }$ und ist ${\displaystyle \varphi :C_{\mathbb {R} }([0,1])\rightarrow \mathbb {R} }$ definiert durch ${\displaystyle \varphi (f):=\int _{0}^{1}f(t)\,{\rm {d}}t}$, so ist ${\displaystyle \varphi }$ ein stetiges lineares Funktional. Zu jedem ${\displaystyle f\in C_{\mathbb {R} }([0,1])}$ gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ein ${\displaystyle t_{0}\in [0,1]}$ mit ${\displaystyle \varphi (f)=\int _{0}^{1}f(t)\,{\rm {d}}t=f(t_{0})}$, und ${\displaystyle f(t_{0})}$ liegt im Spektrum von ${\displaystyle f}$, denn ${\displaystyle f-f(t_{0})\cdot 1}$ hat eine Nullstelle, nämlich ${\displaystyle t_{0}}$, und ist daher nicht invertierbar. Daher erfüllt ${\displaystyle \varphi }$ den dritten Punkt obigen Satzes, nicht aber den ersten, denn das Integrieren ist bekanntlich nicht multiplikativ.

Quellen

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-5400-6386-2.
• Andrew M. Gleason: A characterization of maximal ideals. Journal d'Analyse Mathématique, Band 19 (1967), Seiten 171–172.
• Jean-Pierre Kahane, Wiesław Żelazko: A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras. Studia Mathematica, Band 29 (1968), Seiten 339–343.