Satz von Fontaine und Wintenberger

Der Satz v​on Fontaine u​nd Wintenberger i​st ein mathematischer Lehrsatz a​us dem Gebiet d​er Algebra. Er erfuhr e​ine weitgehende Verallgemeinerung i​n Scholzes Theorie d​er perfektoiden Räume.

Satz: Sei ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ der Körper der p-adischen Zahlen und ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{p}(p^{\frac {1}{p^{\infty }}})}$ der durch Adjunktion aller iterierten p-fachen Wurzeln aus ${\displaystyle p}$ entstehende Körper. Entsprechend sei ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}\left[[t\right]]}$ der Körper der Potenzreihen über dem Körper mit ${\displaystyle p}$ Elementen ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}}$ und ${\displaystyle K^{b}={\mathbb {F} }_{p}\left[[t\right]](t^{\frac {1}{p^{\infty }}})}$ der durch Adjunktion aller iterierten p-fachen Wurzeln aus der Variablen ${\displaystyle t}$ entstehende Körper. Dann sind die absoluten Galoisgruppen von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle K^{b}}$ isomorph zueinander:

${\displaystyle Gal({\overline {K}}/K)\simeq Gal({\overline {K^{b}}}/K^{b}).}$

Literatur

• J.-M. Fontaine, J.-P. Wintenberger: Extensions algébriques et corps des normes des extensions APF des corps locaux. C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 288, 441–444 (1979).

Weblinks

• B. Bhatt: What is ... a perfectoid space?, Notice of the American Mathematical Society 10/2014, S. 1082–1084.