Satz von Fodor

Der Satz v​on Fodor (auch: Pressing Down Lemma) i​st ein Satz a​us der Mengenlehre, d​er 1956 v​on dem ungarischen Mathematiker Géza Fodor entdeckt wurde. Er besagt, d​ass es für bestimmte Funktionen i​mmer große (d. h. stationäre) Teilmengen gibt, a​uf denen d​iese lediglich e​inen Wert annehmen.

Aussage

Sei ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$ eine stationäre Teilmenge einer regulären, überabzählbaren Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa }$. Ist ${\displaystyle f\colon S\to \kappa }$ eine regressive Funktion, d. h. gilt ${\displaystyle f(\alpha )<\alpha }$ für alle ${\displaystyle \alpha \in S\setminus \{0\}}$, so gibt es eine stationäre Menge ${\displaystyle T\subseteq S}$, auf der ${\displaystyle f}$ konstant ist, d. h. es existiert ein ${\displaystyle \gamma \in \kappa }$, sodass ${\displaystyle f(\alpha )=\gamma }$ für alle ${\displaystyle \alpha \in T}$ gilt.

Beweis

Annahme, die Aussage gilt nicht: Dann wäre für jedes ${\displaystyle \gamma \in \kappa }$ die Menge ${\displaystyle D_{\gamma }=\{\alpha \in \kappa \mid f(\alpha )=\gamma \}}$ nichtstationär. Daher sind die Komplemente ${\displaystyle D_{\gamma }^{\mathrm {C} }}$ jeweils Obermengen von club-Mengen, also Elemente des club-Filters ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\kappa }}$. Dieser ist gegenüber diagonalen Schnitten abgeschlossen, daher gilt ${\displaystyle \textstyle C=\bigtriangleup _{\gamma <\kappa }D_{\gamma }^{\mathrm {C} }=\{\alpha \in \kappa \mid \alpha \in \bigcap _{\gamma <\alpha }D_{\gamma }^{\mathrm {C} }\}\in {\mathcal {C}}_{\kappa }}$. Da ${\displaystyle S}$ stationär ist, ist ${\displaystyle S\cap C\neq \emptyset }$. Für ${\displaystyle \alpha \in S\cap C}$ gilt aber: ${\displaystyle \forall \gamma <\alpha :\alpha \notin D_{\gamma }}$, also ${\displaystyle f(\alpha )\neq \gamma }$ für alle ${\displaystyle \gamma <\alpha }$. Dies steht im Widerspruch zur Regressivität. Also ist die Annahme falsch, das heißt, es gibt eine solche stationäre Menge.

Literatur

• Fodor, Géza: Eine Bemerkung zur Theorie der regressiven Funktionen, Acta Sci. Math. Szeged, 17 (1956), S. 139–142.
• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.