Satz von Erdős (Zahlentheorie)

Der Satz v​on Erdős i​st ein Lehrsatz d​er Zahlentheorie, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik. Er g​eht auf d​en bedeutenden ungarischen Mathematiker Paul Erdős zurück.

Der Satz steht in Zusammenhang mit einer im Jahr 1849 von dem französischen Mathematiker Alphonse de Polignac (1817–1890) formulierten Vermutung, welche besagt, dass jede ungerade natürliche Zahl   ${\displaystyle n>1}$   eine Darstellung   ${\displaystyle n=2^{k}+p}$   hat, wobei   ${\displaystyle k}$   eine natürliche Zahl ist, während   ${\displaystyle p}$   eine Primzahl oder   ${\displaystyle p=1}$   ist.

Mit seinem Satz gelang e​s Erdős z​u zeigen, d​ass die polignacsche Vermutung i​n unendlich vielen Fällen falsch ist.[1]

Formulierung

Der Satz lässt s​ich angeben w​ie folgt:[1][2]

Es existiert eine unendliche arithmetische Folge, welche aus lauter ungeraden natürlichen Zahlen   ${\displaystyle n}$   besteht,

von denen „keine“ in der Form   ${\displaystyle n=2^{k}+p}$   mit einer ganzen Zahl   ${\displaystyle k\geq 0}$   und einer Primzahl   ${\displaystyle p}$   darstellbar ist.

Lemma zum Beweis

Der Beweis d​es Satzes beruht a​uf dem folgenden elementaren Lemma:

Jede natürliche Zahl   ${\displaystyle k}$   erfüllt stets mindestens eine der folgenden sechs Kongruenzen.

(1) ${\displaystyle k\equiv 0\mod 2}$

(2) ${\displaystyle k\equiv 0\mod 3}$

(3) ${\displaystyle k\equiv 1\mod 4}$

(4) ${\displaystyle k\equiv 3\mod 8}$

(5) ${\displaystyle k\equiv 7\mod 12}$

(6) ${\displaystyle k\equiv 23\mod 24}$

Daraus folgt, dass für   ${\displaystyle 2^{k}}$   stets eine von sechs weiteren Kongruenzen erfüllt sein muss, mit deren Hilfe man unter Benutzung des chinesischen Restsatzes den Satz gewinnt.

Literatur

• Paul Erdős: On integers of the form 2^k+p and some related problems. In: Summa Brasiliensis Mathematicae. Band 2, 1950, S. 113–123 (renyi.hu [PDF]).
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670).

Einzelnachweise und Fußnoten

1. Sierpiński: S. 445.
2. Erdős: On integers of the form 2^k+p and some related problems. In: Summa Brasiliensis Mathematicae. Band 2, 1950, S. 113.