Satz von Donsker

Der Satz v​on Donsker i​st ein fundamentaler Satz a​us der Stochastik, genauer a​us der Theorie d​er stochastischen Prozesse. Der Satz begründet d​ie Existenz d​es Wiener-Maßes bzw. d​er Brownschen Bewegung u​nd bietet zugleich e​ine Konstruktionsmöglichkeit.

Das Theorem i​st die funktionale Variante d​es zentralen Grenzwertsatzes u​nd ist deshalb a​uch unter d​em Namen Funktionaler Grenzwertsatz u​nd Donskersches Invarianzprinzip bekannt.

Er w​urde 1952 v​om amerikanischen Mathematiker Monroe D. Donsker bewiesen.[1]

Aussage

Sei ${\displaystyle \mathbf {M} }$ der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle C[0,1]}$, weiter sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ i.i.d. reelle Zufallsvariablen mit ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{n}]=0}$ und ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{n}^{2}]=\sigma ^{2}}$. Sei ${\displaystyle S_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}X_{k}}$ mit ${\displaystyle S_{0}=0}$, konstruiere

${\displaystyle X_{t}^{(n)}(\omega )=({\sqrt {n}}\sigma )^{-1}S_{[nt]}(\omega )+(nt-[nt])({\sqrt {n}}\sigma )^{-1}X_{[nt]+1}(\omega ),\quad t\in [0,1].}$

${\displaystyle X^{(n)}:\Omega \to C[0,1]}$ ist die stückweise lineare Interpolation mit ${\displaystyle X_{i/n}^{(n)}=(\sigma {\sqrt {n}})^{-1}S_{i}(\omega )}$ für ${\displaystyle i=0,\dots ,n}$. Sei ${\displaystyle \mu _{n}\in \mathbf {M} }$ das Bildmaß ${\displaystyle \mu _{n}=P\circ (X^{(n)})^{-1}}$, dann konvergiert ${\displaystyle \mu _{n}}$ schwach gegen das Wiener-Maß.

Erläuterungen

• Da der Satz keine zugrundeliegende Verteilung an die ${\displaystyle X_{n}}$ voraussetzt (nur dass diese iid sind), spricht man vom Donskerschen Invarianzprinzip.

Einzelnachweise

1. Ethan Schondorf: The Wiener Measure And Donsker's Invariance Principle. Abgerufen am 20. April 2021.