Satz von Dold-Thom

Im mathematischen Gebiet d​er algebraischen Topologie berechnet d​er Satz v​on Dold-Thom d​ie Homotopiegruppen symmetrischer Produkte. Die Realisierung d​er Homologiegruppen e​ines beliebigen CW-Komplexes a​ls Homotopiegruppen erlaubt i​n verschiedenen Kontexten e​ine Berechnung v​on Homologie mittels homotopietheoretischer Methoden u​nd es ermöglicht d​ie Übertragung v​on Methoden d​er algebraischen Topologie i​n die algebraische Geometrie, e​twa die v​on Wojewodski entwickelte Homotopietheorie algebraischer Varietäten u​nd motivische Kohomologie.

Satz von Dold-Thom

Sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender CW-Komplex und ${\displaystyle SP(X)}$ sein symmetrisches Produkt, d. h. der Kolimes der Quotienten von ${\displaystyle X^{n}}$ unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$. Dann gilt

${\displaystyle \pi _{i}(SP(X))=H_{i}(X)}$

für alle ${\displaystyle i\geq 1}$.

Literatur

• Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte. Ann. of Math. (2) 67 (1958), 239–281.

Weblinks

• Barnet-Lamb: The Dold-Thom Theorem