Satz von Denjoy (Topologie)

Der Satz v​on Denjoy i​st ein mathematischer Lehrsatz, welcher a​uf den französischen Mathematiker Arnaud Denjoy zurückgeht. Er behandelt e​ine grundlegende Zusammenhangseigenschaft d​er Topologie d​er reellen Zahlen. Denjoy veröffentlichte i​hn 1915.[1]

Formulierung

Der Satz lässt s​ich angeben w​ie folgt:[2]

Gegeben seien in   ${\displaystyle \mathbb {R} }$   drei kompakte Intervalle   ${\displaystyle I_{1}\;,\;I_{2}\;,\;I_{3}}$   .

Dabei sei vorausgesetzt, dass

${\displaystyle \bigcap \limits _{k\;\in \;\{1\;,\;2\;,\;3\} \atop \;}{I_{k}^{\circ }}\;\neq \;\emptyset }$

gelte, dass also die drei Intervalle mindestens einen gemeinsamen inneren Punkt besitzen.

Dann gilt:

Es gibt unter den drei Intervallen mindestens eines, welches so von den beiden anderen Intervallen überdeckt wird, dass jeder einzelne seiner inneren Punkte zugleich innerer Punkt eines der beiden anderen Intervalle ist.

In Formeln:

${\displaystyle \exists j\in \{1\;,\;2\;,\;3\}\colon {\bigl (}I_{j}^{\circ }\;\subseteq \;\bigcup \limits _{k\;\in \;\{1\;,\;2\;,\;3\} \atop \;\ k\;\neq \;j}{I_{k}^{\circ }}{\bigr )}}$  

Beweis

Die kompakten Intervalle sind von der Form ${\displaystyle I_{k}=\left[a_{k},b_{k}\right]}$ für ${\displaystyle k=1,2,3}$. Ihr Inneres ist jeweils ${\displaystyle I_{k}^{\circ }=\left(a_{k},b_{k}\right)}$.

Sei ${\displaystyle i\in \left\{1,2,3\right\}}$ so dass ${\displaystyle a_{i}=\min(a_{1},a_{2},a_{3})}$ und sei ${\displaystyle j\in \left\{1,2,3\right\}}$ so dass ${\displaystyle b_{j}=\max(b_{1},b_{2},b_{3})}$. Dann gilt ${\displaystyle I_{k}\subset \left[a_{i},b_{j}\right]}$ für ${\displaystyle k=1,2,3}$.

Fall 1: ${\displaystyle i=j}$. Dann gilt ${\displaystyle I_{k}\subset I_{i}}$ und ${\displaystyle I_{k}^{\circ }\subset I_{i}^{\circ }}$ für ${\displaystyle k=1,2,3}$.

Fall 2: ${\displaystyle i\not =j}$. Nach Voraussetzung gibt es einen gemeinsamen Punkt ${\displaystyle z}$ im Inneren der drei Intervalle, für den also insbesondere ${\displaystyle z\in \left(a_{i},b_{i}\right)}$ und ${\displaystyle z\in \left(a_{j},b_{j}\right)}$, mithin ${\displaystyle a_{j}<z<b_{i}}$ gilt. Daraus folgt

${\displaystyle I_{k}\subset \left[a_{i},b_{j}\right]=\left[a_{i},z\right]\cup \left[z,b_{j}\right]\subset \left[a_{i},b_{i}\right]\cup \left[a_{j},b_{j}\right]=I_{i}\cup I_{j}}$

für ${\displaystyle k=1,2,3}$. Für einen inneren Punkt ${\displaystyle x\in I_{k}^{\circ }}$ hat man ${\displaystyle a_{k}<x<b_{k}}$ und entweder ${\displaystyle x\leq z}$ oder ${\displaystyle x>z}$. Im Fall ${\displaystyle x\leq z}$ folgt ${\displaystyle a_{i}\leq a_{k}<x\leq z<b_{i}}$ und mithin ${\displaystyle x\in I_{i}^{\circ }}$, im Fall ${\displaystyle x>z}$ folgt ${\displaystyle a_{j}<z<x<b_{j}}$ und mithin ${\displaystyle x\in I_{j}^{\circ }}$.

Literatur

• Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers (= Monografie matematyczne. Band 34). 2. Auflage. PWN – Polish Scientific Publishers, Warschau 1965 (MR0194339).
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Band 7). Springer Verlag, New York 2005, ISBN 0-387-24219-8 (MR2127991).
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Denjoy: Mémoire sur les nombres dérivés des fonctions continues. In: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Serie 7, Band 1, 1915, S. 105–240, mathdoc.fr, hier S. 223
2. Wacław Sierpiński: Cardinal and Ordinal Numbers (= Monografie matematyczne. Band 34). 2. Auflage. PWN – Polish Scientific Publishers, Warschau 1965, S. 41 (MR0194339).