Satz von Bézout

In d​er Algebraischen Geometrie beschreibt d​er klassische Satz v​on Bézout d​ie Anzahl d​er Schnittpunkte ebener algebraischer Kurven. Er w​urde von Étienne Bézout i​m 18. Jahrhundert formuliert u​nd (im Rahmen d​er laxeren Ansprüche j​ener Zeit) bewiesen.

Aussage

Sei ${\displaystyle k}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ zwei projektive ebene Kurven im zweidimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(k)}$ ohne gemeinsame Komponenten. Dann gilt:

${\displaystyle \sum _{P\in \mathbb {P} ^{2}(k)}I(P,F\cap G)=\deg F\cdot \deg G,}$

wobei ${\displaystyle I(P,F\cap G)}$ die Schnittzahl bezeichnet.

Folgerungen

• Zwei projektive ebene Kurven ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ schneiden sich immer in mindestens einem Punkt und maximal in ${\displaystyle \deg F\cdot \deg G}$ verschiedenen Punkten.
• Für affine ebene Kurven ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ ohne gemeinsame Komponenten gilt die Ungleichung ${\displaystyle \sum _{P\in k^{2}}I(P,F\cap G)\leq \deg F\cdot \deg G}$.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung für algebraische Varietäten lautet w​ie folgt:

Seien ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ algebraische Varietäten vom Grad ${\displaystyle \deg A=a}$ bzw. ${\displaystyle \deg B=b}$ im ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$. Ferner sei ${\displaystyle A\cap B}$ eine Varietät der Dimension ${\displaystyle \dim(A\cap B)=\dim A+\dim B-n}$.

Dann ist ${\displaystyle \deg A\cap B=ab}$.

Literatur

Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie, 1. Auflage, 2000, ISBN 978-3-528-03156-5, S. 145–146.