Reversionspendel

Ein Reversionspendel i​st in d​er Gravimetrie e​in Pendel z​ur Messung d​er Schwerebeschleunigung. Es g​ibt zwei verschiedene Designs, entweder d​as Reversionspendel besitzt z​wei entlang d​es Pendels verschiebbare Aufhängungspunkte (auch Schneiden genannt) o​der zwei f​este Aufhängungspunkte u​nd dafür verschiebbare Massen.

Pendelapparat mit Sekunden-Reversionspendel von Adolf Repsold aus dem Jahre 1869, GeoForschungsZentrum, Potsdam

Je n​ach Bauart müssen b​eide Aufhängungspunkte o​der beide Massen s​o verschoben werden, d​ass die Schwingungen u​m den ersten Aufhängungspunkt dieselbe Periodendauer w​ie die Schwingung u​m den zweiten Aufhängungspunkt besitzt. Damit w​ird das schwierige Problem umgangen, d​as Trägheitsmoment d​es Pendels g​enau bestimmen z​u müssen, u​m die Schwerebeschleunigung berechnen z​u können. Stattdessen m​uss nur d​er Abstand zwischen d​en beiden Aufhängungspunkten gemessen werden. Dieser entspricht d​er reduzierten Pendellänge.[1]

Mit diesem Verfahren konnte bereits im 19. Jahrhundert die Erdbeschleunigung ${\displaystyle g}$ auf etwa ein Millionstel ihres Wertes bestimmt werden (siehe Pendelapparat von Sterneck). Die um die Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelten Gravimeter nach dem Prinzip der Federwaage erreichten diese Genauigkeit nur durch hohen Aufwand an Konstruktion, Rechenmethoden und Reduktion, sind aber mittlerweile um den Faktor 10 bis 100 genauer.

Nach Angabe mehrerer Quellen w​urde das Reversionspendel v​on Johann Gottlieb Friedrich v​on Bohnenberger erfunden.[2][3] Außerhalb d​es deutschen Sprachraums h​at sich für d​as Reversionspendel weitgehend d​ie Bezeichnung Katers Pendel[4] durchgesetzt, d​ie sich a​uf die Konstruktion d​es britischen Physikers Henry Kater a​us dem Jahre 1817 bezieht.

Messung der Schwerebeschleunigung

Zuerst wird die Periodendauer des Pendels bestimmt, wenn es um die erste Schneide schwingt, dann die Periodendauer bei Schwingungen um die zweite Schneide. Sind die Periodendauern nicht gleich, müssen die Schneiden oder Massen verschoben werden. Dieser Prozess wird so lange wiederholt, bis beide Periodendauern ${\displaystyle T}$ gleich lang sind. Anschließend muss der Abstand ${\displaystyle L}$ zwischen den Scheiden und die Masse ${\displaystyle M}$ des Systems bestimmt werden, um die Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g}$ mit folgender Formel berechnen zu können

${\displaystyle g=4\pi ^{2}{\frac {L}{T^{2}}}}$

Die Auslenkung d​es Pendels sollte d​abei möglichst k​lein gehalten werden, w​eil die o​bige Formel m​it der Kleinwinkelnäherung hergeleitet wird.[5]

Herleitung des Funktionsprinzips

Schematischer Aufbau eines Reversionspendels mit verschiebbaren Massen

Für die Periodendauer ${\displaystyle T}$ eines Pendels bei kleiner Auslenkung mit der reduzierten Pendellänge ${\displaystyle l_{r}}$ gilt

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l_{r}}{g}}}}$

Wenn das Pendel so eingestellt ist, dass die Periodendauer ${\displaystyle T_{1}}$ um die erste Schneide ${\displaystyle S_{1}}$ gleich der Periodendauer ${\displaystyle T_{2}}$ um die zweite Schneide ${\displaystyle S_{2}}$ ist, sind auch die reduzierten Pendellängen ${\displaystyle l_{r,a}}$ und ${\displaystyle l_{r,b}}$ gleich.

Zusammen mit der Formel für die reduzierte Pendellänge ${\displaystyle l_{r}={\frac {I}{Mr}}}$ gilt damit

${\displaystyle {\frac {I_{a}}{Mr_{a}}}={\frac {I_{b}}{Mr_{b}}}\quad \quad (1)}$

Dabei ist ${\displaystyle I}$ das Trägheitsmoment, ${\displaystyle M}$ die Gesamtmasse des Pendels und ${\displaystyle r}$ der Abstand der Rotationsachse vom Schwerpunkt ${\displaystyle S}$.

Nach dem Steinerschen Satz gilt für beide Trägheitsmomente ${\displaystyle I_{a,b}}$

${\displaystyle I_{a,b}=Mr_{a,b}^{2}+I_{S}}$

Ersetzt man die Trägheitsmomente in der obigen Gleichung ${\displaystyle (1)}$ und formt um, erhält man

${\displaystyle (I_{S}+Mr_{a}^{2})\,r_{b}=(I_{S}+Mr_{b}^{2})\,r_{a}}$

und n​ach weiterem Umformen

${\displaystyle (r_{b}-r_{a})(I_{S}-Mr_{a}r_{b})=0\quad \quad (2)}$

Eine Lösung dieser Gleichung ist ${\displaystyle I_{S}=Mr_{a}r_{b}}$. Umgeformt ergibt sich

${\displaystyle r_{a}={\frac {I_{S}}{Mr_{b}}}}$

Die Abstände ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ der beiden Schneiden vom Schwerpunkt sind zusammen der Abstand ${\displaystyle L}$ zwischen den beiden Schneiden: ${\displaystyle L=r_{a}+r_{b}}$. Setzt man dies ein, erhält man

${\displaystyle L={\frac {I_{S}+Mr_{a}^{2}}{Mr_{a}}}={\frac {I_{a}}{Mr_{a}}}=l_{r}}$

Das entspricht genau der Formel für die reduzierte Pendellänge ${\displaystyle l_{r}}$, folglich ist der Abstand ${\displaystyle L}$ die reduzierte Pendellänge.

Für die Gleichung ${\displaystyle (2)}$ ist auch ${\displaystyle r_{a}=r_{b}=L/2}$ eine Lösung. Beide Schneiden sind dabei gleich weit vom Schwerpunkt entfernt und besitzen deshalb auch das gleiche Trägheitsmoment. Ohne zu wissen, wo der Schwerpunkt liegt, dessen Bestimmung vermieden werden soll, kann man in diesem Fall aber nichts damit anfangen. Die Schneiden dürfen deshalb nicht gleich weit vom Schwerpunkt entfernt sein, damit diese Methode funktioniert.[1]

Literatur

• Friedrich Georg Wieck, Otto Wilhelm Alund: Naturkrafterna och deras användning (Naturkräfte und deren Anwendung). 1873–1875, S. 99, Website

Weblinks

• Physikpraktikum RP TU Dresden (PDF; 2,1 MB)

Einzelnachweise

1. Reyher: Laborversuche zur Physik 1 - Reversionspendel. Abgerufen am 18. November 2020.
2. 1997 Uni Bonn (PDF; 13 kB)
3. Uni Tübingen
4. Katers Pendel, vgl. die entsprechenden Artikel in den fremdsprachigen Wikipedias (en:, fr:, nl:)
5. Peter Schäfer: Versuch M9-Reversionspendel. 4. Mai 2018, abgerufen am 19. November 2020.