Resurgente Funktion

Der Begriff resurgente Funktion (von lateinisch resurgere, wieder aufstehen) stammt a​us der Écalle-Theorie (auch Theorie d​er resurgenten Funktionen u​nd des Alien-Kalküls). Die Theorie h​at sich a​us der Summierbarkeit divergenter Reihen (siehe Borel-Summation) entwickelt u​nd behandelt analytische Funktionen m​it isolierten Singularitäten. Der Begriff w​urde in d​en späten 1970ern v​on dem französischen Mathematiker Jean Écalle eingeführt.

Resurgente Funktionen h​aben Anwendung i​n der asymptotischen Analysis, i​n der Theorie d​er Differentialgleichungen, d​er Störungstheorie u​nd der Quantenfeldtheorie.

Für analytische Funktionen m​it isolierten Singularitäten lässt s​ich das Alien-Kalkül (Alien calculus) herleiten, e​ine spezielle Algebra für i​hre Ableitungen.

Definition

Eine ${\displaystyle \Omega }$-resurgente Funktion ist ein Element aus ${\displaystyle \mathbb {C} \delta \oplus {\hat {\mathcal {R}}}_{\Omega }}$, das heißt ein Element der Form ${\displaystyle c\delta +{\hat {\phi }}}$ aus ${\displaystyle \mathbb {C} \delta \oplus \mathbb {C} \{\zeta \}}$, wobei ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ ein ${\displaystyle \Omega }$-fortsetzbarer Keim ist.[1]

Eine Potenzreihe ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}\in \mathbb {C} [[z^{-1}]]}$, deren formale Borel-Transformation eine ${\displaystyle \Omega }$-resurgente Funktion ist, nennt man ${\displaystyle \Omega }$-resurgente Reihe.

Grundbegriffe und Notation

Konvergenz in ${\displaystyle \infty }$:

Die formale Potenzreihe ${\displaystyle \phi (z)\in \mathbb {C} [[z^{-1}]]}$ ist konvergent in ${\displaystyle \infty }$, falls die assoziierte formale Potenzreihe ${\displaystyle \psi (t)=\phi (1/z)\in \mathbb {C} [[t]]}$ einen positiven Konvergenzradius hat. Mit ${\displaystyle \mathbb {C} \{z^{-1}\}}$ bezeichnet man den Raum der formalen Potenzreihen konvergent in ${\displaystyle \infty }$.[1]

Formale Borel-Transformation:

Die formale Borel-Transformation (nach Émile Borel benannt) ist der Operator ${\displaystyle {\mathcal {B}}:z^{-1}\mathbb {C} [[z^{-1}]]\to \mathbb {C} [[\zeta ]]}$ definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {B}}:\phi =\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{-n-1}\mapsto {\hat {\phi }}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {\zeta ^{n}}{n!}}}$.[1]

Konvolution in ${\displaystyle \mathbb {C} \{\zeta \}}$:

Seien ${\displaystyle {\hat {\phi }},{\hat {\psi }}\in \mathbb {C} [[\zeta ]]}$, dann ist die Konvolution geben durch

${\displaystyle {\hat {\phi }}*{\hat {\psi }}:={\mathcal {B}}[\phi \psi ]}$.

Durch Adjunktion können wir der Konvolution in ${\displaystyle \mathbb {C} [[\zeta ]]}$ eine Einheit hinzufügen und führen den Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} [[z]]}$ ein, wobei wir das Element ${\displaystyle (1,0)}$ mit ${\displaystyle \delta }$ bezeichnen. Mit der Konvention ${\displaystyle \{0\}\times \mathbb {C} [[\zeta ]]:=\mathbb {C} [[\zeta ]]}$ können wir den Raum als ${\displaystyle \mathbb {C} \delta \oplus \mathbb {C} [[z]]}$ interpretieren und definieren

${\displaystyle (a\delta +{\hat {\phi }})*(b\delta +{\hat {\psi }}):=ab\delta +a{\hat {\psi }}+b{\hat {\phi }}+{\hat {\phi }}*{\hat {\psi }}}$

und setzen ${\displaystyle {\mathcal {B}}1:=\delta }$.[1]

${\displaystyle \Omega }$-fortsetzbarer Keim:

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine nicht-leere, diskrete Untermenge von ${\displaystyle \mathbb {C} }$ und definieren ${\displaystyle \mathbb {D} _{R}=\{\zeta \in \mathbb {C} \mid |\zeta -0|<R\}\setminus \{0\}}$.

Sei ${\displaystyle r}$ der Konvergenzradius von ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$. ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ ist ein ${\displaystyle \Omega }$-fortsetzbarer Keim, falls ein ${\displaystyle R}$ existiert, so dass ${\displaystyle r\geq R>0}$ und ${\displaystyle \mathbb {D} _{R}\cap \Omega =\emptyset }$, und ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$ analytische Fortsetzungen besitzt, entlang irgendeines Pfades in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Omega }$ beginnend in einem Punkt in ${\displaystyle \mathbb {D} _{R}}$.

${\displaystyle {\hat {\mathcal {R}}}_{\Omega }}$ bezeichnet den Raum der ${\displaystyle \Omega }$-fortsetzbaren Keime in ${\displaystyle \mathbb {C} \{\zeta \}}$.[1]

Literatur

• Les Fonctions Résurgentes, Jean Écalle, Band 1–3, Pub. Math. Orsay, 1981–1985
• Divergent Series, Summability and Resurgence I, Claude Mitschi und David Sauzin, Springer Verlag

Einzelnachweis

1. Claude Mitschi, David Sauzin: Divergent Series, Summability and Resurgence I. 1. Auflage. Springer Verlag, Schweiz 2016, ISBN 978-3-319-28735-5 (englisch).