Rarita-Schwinger-Gleichung

In d​er theoretischen Physik i​st die Rarita-Schwinger Gleichung (nach William Rarita u​nd Julian Schwinger, d​ie sie 1941 formulierten) e​ine relativistische Feldgleichung für Spin-3/2-Fermionen. Sie w​ird gewöhnlich d​azu benutzt, zusammengesetzte Teilchen w​ie das Delta-Baryon z​u beschreiben u​nd zu untersuchen, manchmal w​ird sie a​uch für hypothetische Teilchenfelder w​ie das Gravitino verwendet. Bisher konnte allerdings n​och kein stabiles Elementarteilchen m​it Spin 3/2 experimentell nachgewiesen werden.

Die Rarita-Schwinger-Gleichung i​st ähnlich aufgebaut w​ie die Dirac-Gleichung für Spin-1/2-Fermionen u​nd kann a​us dieser hergeleitet werden. In e​iner modernen Notation w​ird sie w​ie folgt angeschrieben:[1]

${\displaystyle \left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }=0}$

mit

• ${\displaystyle \epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }}$ das Levi-Civita-Symbol
• ${\displaystyle \gamma _{5}}$ und ${\displaystyle \gamma _{\nu }}$ Dirac-Matrizen
• ${\displaystyle m}$ die Masse des Fermions
• ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }\equiv i/2\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]}$
• ${\displaystyle \psi _{\nu }}$ eine Wellenfunktion mit dem Lorentzindex ${\displaystyle \nu }$. Die Wellenfunktion transformiert bezüglich dieses Index wie ein gewöhnlicher Vierervektor. Jede der vier einzelnen Komponenten der Wellenfunktion transformiert zusätzlich aber auch wie ein Dirac-Spinor. Die Darstellung entspricht damit der ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)\otimes \left(\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right)}$, bzw. ${\displaystyle \left(1,{\tfrac {1}{2}}\right)\oplus \left({\tfrac {1}{2}},1\right)}$ Darstellung der Lorentz-Gruppe[2].

Die Rarita-Schwinger Gleichung k​ann aus folgender Lagrange-Dichte hergeleitet werden:[3]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\tfrac {i}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }+m\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{\mu }=\psi _{\mu }^{\dagger }\gamma ^{0}}$ den adjungierten Spinor zu ${\displaystyle \psi _{\mu }}$.

Die Rarita-Schwinger-Gleichung hat für Teilchen mit Masse 0 eine Eichsymmetrie bezüglich der Eichtransformation ${\displaystyle \psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon }$. Dabei ist ${\displaystyle {\mathcal {\epsilon }}}$ ein frei wählbares, fermionisches Majorana-Feld, das zu einer geeichten Supersymmetrietransformation gehört.

Von d​er Rarita-Schwinger-Gleichung existieren a​uch Weyl- u​nd Majorana-Darstellungen, d​ie sich bezüglich d​er physikalischen Ergebnisse n​icht von d​er Originalgleichung unterscheiden.

Literatur

• W. Rarita and J. Schwinger, On a Theory of Particles with Half-Integral Spin. Phys. Rev. 60, 61 (1941).
• Collins P.D.B., Martin A.D., Squires E.J., Particle physics and cosmology (1989) Wiley, Section 1.6.
• G. Velo, D. Zwanziger, Propagation and Quantization of Rarita-Schwinger Waves in an External Electromagnetic Potential, Phys. Rev. 186, 1337 (1969).
• G. Velo, D. Zwanziger, Noncausality and Other Defects of Interaction Lagrangians for Particles with Spin One and Higher, Phys. Rev. 188, 2218 (1969).
• M. Kobayashi, A. Shamaly, Minimal Electromagnetic coupling for massive spin-two fields, Phys. Rev. D 17,8, 2179 (1978).

Bücher

• Walter Greiner: Theoretische Physik. Band 6: Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Deutsch, Thun u. a. 1987, ISBN 3-8171-1022-7.

Einzelnachweise

1. S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 3, Cambridge S. 335
2. S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 1, Cambridge S. 232
3. S. Weinberg, "The quantum theory of fields", Band 3, Cambridge S. 335