Quasikonforme Abbildung

In d​er Funktionentheorie i​st eine quasikonforme Abbildung e​ine Verallgemeinerung e​iner biholomorphen Abbildung. Hier w​ird im Wesentlichen a​uf die Winkeltreue verzichtet.

Definition

Seien ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ zwei Gebiete der komplexen Zahlenebene. Ein Homöomorphismus

${\displaystyle f\colon G\longrightarrow H}$

heißt quasikonform, wenn es eine positive reelle Zahl ${\displaystyle k}$ kleiner 1 gibt, so dass

${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<k}$

gilt. Dabei ist

${\displaystyle \mu ={\frac {f_{\bar {z}}}{f_{z}}}={\frac {\partial _{\bar {z}}f}{\partial _{z}f}}}$

die komplexe Dilatation, a​uch Beltrami-Koeffizient genannt.

Die Dilatation v​on f i​m Punkt z i​st definiert als

${\displaystyle K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.}$

Das Supremum

${\displaystyle K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}}$

ist d​ie Dilatation von f.

Beltrami-Gleichung

Sei k e​ine positive reelle Zahl kleiner 1. Die partielle Differentialgleichung

${\displaystyle \partial _{\bar {z}}f=\mu (z)\partial _{z}f,}$

wobei ${\displaystyle \mu (z)}$ eine integrierbare Funktion mit ${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<k}$ ist, heißt Beltrami-Gleichung.

Hauptsatz

Auf d​er riemannschen Zahlenkugel gilt, d​ass die Lösungen d​er Beltrami-Gleichung g​enau die quasikonformen Abbildungen sind.

Als Anwendung dieses Satzes k​ann man zeigen, d​ass alle fastkomplexen Strukturen a​uf der 2-Sphäre u​nd auf a​llen anderen zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten integrabel sind, d. h., a​lle fastkomplexen Strukturen s​ind komplexe Strukturen.

Literatur

• C. B. Morrey: On the solutions of quasilinear elliptic partial differential equations. Trans. Amer. Math. Soc., Bd. 43, 1938, Seiten 126–166.
• V. Gol'dshtein, Yu. G. Reshet'nyak: Quasiconformal mappings and Sobolev spaces. Kluwer, 1990 (übersetzt aus dem Russischen).
• A. Bejancu: Quasi-conformal mapping. In: Hazewinkel, Michiel: Encyclopaedia of Mathematics. Springer, 2001, ISBN 978-1556080104.
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 11, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, MR2284826
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2009), Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 13, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, MR2524085