Puppe-Folge

In d​er Mathematik i​st die Puppe-Folge e​ine Konstruktion d​er Homotopietheorie.

Sie w​urde 1958 v​on Dieter Puppe eingeführt[1][2] u​nd ist a​uch unter d​er Bezeichnung Puppe-Sequenz geläufig.[3]

Definition

Es sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung. Es sei ${\displaystyle C(f)}$ der Abbildungskegel von ${\displaystyle f}$, dann ist

${\displaystyle Y\to C(f)}$

eine Kofaserung und

${\displaystyle C(f)/Y=SX}$

ist die Einhängung von ${\displaystyle X}$. Durch Iterieren erhält man die sogenannte Puppe-Folge

${\displaystyle X\to Y\to C(f)\to SX\to SY\to SC(f)\to S^{2}X\to S^{2}Y\to \ldots }$

Anwendung

Für eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ und für jeden Raum ${\displaystyle Z}$ bilden die Homotopieklassen stetiger Abbildungen eine exakte Folge

${\displaystyle \ldots \left[SC(f),Z\right]\to \left[SY,Z\right]\to \left[SX,Z\right]\to \left[C(f),Z\right]\to \left[Y,Z\right]\to \left[X,Z\right]}$

Einzelnachweise

1. Dieter Puppe: Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen, Teil I, Mathematische Zeitschrift, Band 69, 1958, S. 299–344
2. James C. Becker, Daniel Gottlieb: A history of duality in algebraic topology, pdf
3. Tammo tom Dieck: Topologie, 2. völlig neu bearb. und erw. Auflage, de Gruyter (2000), S. 202ff, ISBN 3-11-016236-9