Pseudo-Orbit

In d​er Theorie dynamischer Systeme i​st ein Pseudo-Orbit e​iner Iteration e​ine Folge v​on Punkten, v​on denen j​eder den Bildpunkt d​es vorhergehenden Punktes annähert.

Bei d​er Modellierung dynamischer Systeme a​uf dem Computer erhält m​an wegen d​er unvermeidlichen Rundungsfehler i​n der Regel n​ur einen Pseudo-Orbit u​nd keinen exakten Orbit.

Definitionen

Es sei ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine Abbildung eines metrischen Raumes auf sich.

Eine Folge ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$ ist ein ${\displaystyle \epsilon }$-Pseudo-Orbit für ein ${\displaystyle \epsilon >0}$ wenn für alle ${\displaystyle i\geq 0}$ die Ungleichung

${\displaystyle d(x_{i+1},f(x_{i}))<\epsilon }$

gilt.

Eine Folge ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}_{0\leq i\leq n-1}}$ ist ein geschlossener oder periodischer ${\displaystyle \epsilon }$-Pseudo-Orbit der Länge ${\displaystyle n}$ für ein ${\displaystyle \epsilon >0}$ wenn für alle ${\displaystyle 0\leq i\leq n-2}$

${\displaystyle d(x_{i+1},f(x_{i}))<\epsilon }$

und darüber hinaus a​uch die Ungleichung

${\displaystyle d(x_{0},f(x_{n-1}))<\epsilon }$

gilt.

Beschattung

Im Allgemeinen m​uss sich e​in Pseudo-Orbit n​icht durch e​chte Orbiten approximieren lassen. Unter gewissen Voraussetzungen i​st dies a​ber doch möglich (Beschattungslemma), insbesondere für Pseudo-Orbiten i​n hyperbolischen Mengen.

Eine entsprechende Aussage für periodische Pseudo-Orbiten m​acht Anosovs Schließungslemma.

Literatur

• Dmitri Anossow: Geodesic flows on closed Riemann manifolds with negative curvature. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, No. 90 (1967). Translated from the Russian by S. Feder American Mathematical Society, Providence, R.I. 1969
• Rufus Bowen: On Axiom A diffeomorphisms. Regional Conference Series in Mathematics, No. 35. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1978. ISBN 0-8218-1685-3
• Rufus Bowen: Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Second revised edition. With a preface by David Ruelle. Edited by Jean-René Chazottes. Lecture Notes in Mathematics, 470. Springer-Verlag, Berlin, 2008. ISBN 978-3-540-77605-5
• Charles Conley: The gradient structure of a flow. I. With a comment by R. Moeckel. Ergodic Theory Dynam. Systems 8^* (1988), Charles Conley Memorial Issue, 11–26, 9.

Weblinks

• Gunesch: Einfůhrung in dynamische Systeme