Primmodell

In d​er Modelltheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Logik, n​ennt man e​in Modell e​iner Theorie Primmodell, w​enn sich dieses Modell i​n jedes Modell dieser Theorie elementar einbetten lässt.

Definition

Im Folgenden ist ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ eine abzählbare Theorie ohne endliche Modelle.

${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ist ein Primmodell der Theorie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ genau dann, wenn für alle ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ mit ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\models {\mathcal {T}}}$ eine Abbildung ${\displaystyle \Phi }$ existiert mit ${\displaystyle \Phi$ :{\mathfrak {A\hookrightarrow B}}}

Beispiele

• Der algebraische Abschluss des Primkörpers ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ (bzw. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) ist ein Primmodell der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$ (bzw. 0).
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ist ein Primmodell der dichten linearen Ordnungen ohne Extrema.

Eigenschaften

• Aus dem Satz von Löwenheim-Skolem folgt, dass ein Primmodell abzählbar ist.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$-kategorisch, so ist das abzählbare Modell ein Primmodell.
• Zwei Primmodelle einer Theorie sind isomorph.
• Eine Theorie hat genau dann ein Primmodell, wenn die isolierten Typen dicht liegen.

Beispiel einer Theorie ohne Primmodell

Folgende Theorie der Sprache ${\displaystyle L}$ besitzt kein Primmodell: Die Sprache ${\displaystyle L}$ enthält für jedes ${\displaystyle s\in }$ ${\displaystyle {}^{<\omega }2}$ ein einstelliges Prädikat ${\displaystyle P_{s}}$.

(Zur Notation: ${\displaystyle {}^{<\omega }2}$ ist die Menge aller endliche Folgen, die nur aus Nullen oder Einsen bestehen.)

Die Axiome der Theorie sind (${\displaystyle s}$ durchläuft alle endlichen Folgen):

${\displaystyle \forall xP_{0}(x)}$

${\displaystyle \exists xP_{s}(x)}$

${\displaystyle \forall x((P_{s0}(x)\lor P_{s1}(x))\leftrightarrow P_{s}(x))}$

${\displaystyle \forall x\neg (P_{s0}(x)\land P_{s1}(x))}$

Die Theorie h​at keine isolierten Typen u​nd daher a​uch kein Primmodell.

Literatur

• Wilfrid Hodges: Model theory. Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-30442-3.
• Chang, Chen C., Keisler, H.Jerome: Model Theory. Amsterdam [u. a.], North-Holland, 1998.
• Prestel, Alexander: Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. Vieweg, Braunschweig 1986. (Vieweg-Studium; 60: Aufbaukurs Mathematik). ISBN 3-528-07260-1. 286 S.
• Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie. Spektrum Akademischer Verlag, 1995, ISBN 978-3-86025-461-5.

Weblinks

• Martin Ziegler: Skript Modelltheorie 1. (PDF; 649 kB)