Poisson-Transformation

In d​er Mathematik i​st die Poisson-Transformation e​in Verfahren z​ur Konstruktion harmonischer Funktionen a​uf der Einheitskreisscheibe. Das Integral, d​as in dieser Konstruktion auftaucht, heißt Poisson-Integral[1] u​nd der Integralkern dessen w​ird Poisson-Kern genannt.[2] Benannt s​ind sowohl d​ie Transformation, d​as Integral u​nd der Integralkern n​ach dem Mathematiker u​nd Physiker Siméon Denis Poisson.

Problemstellung

Gegeben ist eine (beschränkte) Funktion auf dem Einheitskreis ${\displaystyle S^{1}=\partial D^{2}}$, gesucht wird eine (beschränkte) harmonische Funktion auf der Einheitskreisscheibe ${\displaystyle D^{2}}$, deren Werte auf dem Rand mit der gegebenen Funktion ${\displaystyle f}$ übereinstimmen.

Mit anderen Worten: e​s soll d​as Dirichlet-Problem für d​ie Laplace-Gleichung

${\displaystyle \Delta \Phi =0}$

auf d​er Kreisscheibe gelöst werden.

Konstruktion

Der Poisson-Kern i​st die durch

${\displaystyle P(x,\xi )={\frac {1-\|x\|^{2}}{\|\xi -x\|^{2}}}\ \forall x\in D^{2},\xi \in S^{1}}$

gegebene Funktion.

Die Poisson-Transformation ist die Integraltransformation mit Integralkern ${\displaystyle P}$: einer Funktion ${\displaystyle f\in L^{\infty }(S^{1})}$ wird die auf ${\displaystyle D^{2}}$ definierte Funktion

${\displaystyle Pf(x)=\int _{S^{1}}f(\xi )P(x,\xi )d\sigma (\xi )\ \forall x\in D^{2}}$

zugeordnet, wobei ${\displaystyle d\sigma }$ das uniforme Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle S^{1}}$ bezeichnet.

Man kann zeigen, dass ${\displaystyle Pf}$ eine beschränkte harmonische Funktion ist.

Bijektion

Die Poisson-Transformation stellt eine Bijektion zwischen der Menge der beschränkten Funktionen auf ${\displaystyle S^{1}}$ und der Menge der beschränkten harmonischen Funktionen auf ${\displaystyle D^{2}}$ her.

Mit anderen Worten: zu jeder Funktion ${\displaystyle f\in L^{\infty }(S^{1})}$ gibt es eine eindeutige harmonische Funktion ${\displaystyle g\in L^{\infty }(D^{2})}$ mit Randwerten ${\displaystyle f}$.

Die Bijektion erhält die ${\displaystyle L^{\infty }}$-Norm.

Verallgemeinerungen

Die Poisson-Transformation lässt sich auf die n-dimensionale Einheitskugel verallgemeinern, in diesem Fall ist der Poisson-Kern ${\displaystyle P(x,\xi )={\tfrac {1-\|x\|^{2}}{\|\xi -x\|^{n}}}}$ für ${\displaystyle x\in D^{n},\xi \in \partial D^{n}=S^{n-1}}$.

Literatur

• Helgason, Sigurdur: Topics in harmonic analysis on homogeneous spaces. Progress in Mathematics, 13. Birkhäuser, Boston, Mass., 1981. ISBN 3-7643-3051-1
• Quint, J.-F.: An overview of Patterson-Sullivan theory, Workshop "The barycenter method", FIM, Zurich, May 2006 (Online)

Einzelnachweise

1. Poisson-Integral. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
2. Poisson-Kern. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.