Plancherel-Maß

In d​er Mathematik i​st das Plancherel-Maß e​in von Harish-Chandra eingeführtes wichtiges Konzept d​er Darstellungstheorie v​on Gruppen.

Definition

Sei ${\displaystyle G}$ eine reelle reduktive Gruppe. Betrachte die reguläre Darstellung (durch Links- und Rechtsmultiplikation) von ${\displaystyle G\times G}$ auf ${\displaystyle H=L^{2}(G,\mu _{G})}$, also dem Vektorraum der bezüglich des Haarmaßes quadratisch integrierbaren Funktionen. Dann gibt es eine Integral-Zerlegung

${\displaystyle H=\int _{\widehat {G}}H_{\omega }d\mu _{\widehat {G}}(\omega ),}$

wobei ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ die Dualgruppe (also die Gruppe der Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen von ${\displaystyle G}$) und ${\displaystyle H_{\omega }=\omega \otimes \omega ^{*}}$ ist.

Das durch diese Zerlegung auf der Dualgruppe ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ definierte Maß ${\displaystyle d\mu _{\widehat {G}}}$ ist das Plancherel-Maß. Die Zerlegung und damit das Plancherel-Maß wurden explizit von Harish-Chandra beschrieben. Insbesondere bewies er, dass der Träger von ${\displaystyle d\mu _{\widehat {G}}}$ im Unterraum der temperierten Darstellungen enthalten ist.

Literatur

• Harish-Chandra (1966), "Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters", Acta Mathematica, 116 (1): 1–111