Pfisters Sechzehn-Quadrate-Identität

In d​er Algebra i​st Pfisters Sechzehn-Quadrate-Identität e​ine nicht-bilineare Identität d​er Form

Nicht-bilineare Identität bedeutet hier, dass es Formeln gibt und diese keine bilinearen Abbildungen in den Argumenten sind, sondern von etwas komplizierterer Natur, siehe unten.

Angabe der Identität

Diese Identität w​urde erstmals v​on H. Zassenhaus u​nd W. Eichhorn i​n den 1960ern bewiesen[1] u​nd unabhängig u​nd nahezu zeitgleich v​on Albrecht Pfister[2]. Es g​ibt mehrere Versionen, e​ine kurze u​nd prägnante i​st die folgende:

Setzt man alle und mit gleich 0, so reduzieren sich diese Identitäten auf Degens Acht-Quadrate Satz (in blau). Die sind

wobei

Bemerkungen

Die Identität zeigt, dass im Allgemeinen das Produkt zweier Summen von sechzehn Quadraten wieder die Summe von sechzehn rationalen Quadraten ist. Nebenbei erfüllen die noch die Gleichung

Es gibt keine Sechzehn-Quadrate-Identität, bei der die bilinear von den und abhängen, denn der Kompositionssatz von Hurwitz besagt, dass eine Identität der Form

,

bei der die bilineare Funktionen der und sind, nur für möglich ist.

Allerdings zeigt der allgemeinere Satz von Pfister (1965), dass wenn die rationale Funktionen in einem Satz der Variablen sind, solche Identitäten für möglich sind.[3] Es gibt auch nicht-bilineare Versionen von Eulers Vier-Quadrate-Identität und von Degens Acht-Quadrate-Identität.

Siehe auch

Einzelnachweise
  1. H. Zassenhaus and W. Eichhorn: Herleitung von Acht- und Sechzehn-Quadrate-Identitäten mit Hilfe von Eigenschaften der verallgemeinerten Quaternionen und der Cayley-Dicksonchen Zahlen, Arch. Math. 17 (1966), 492–496
  2. A. Pfister: Zur Darstellung von -1 als Summe von Quadraten in einem Körper, J. London Math. Soc. 40 (1965), 159–165
  3. Keith Conrad: Pfister's Theorem on Sums of Squares
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