Peres-Horodecki-Kriterium

Das Peres-Horodecki-Kriterium (oder PPT-Kriterium von englisch positive partial transpose criterion) für die Dichtematrix ${\displaystyle \rho }$ eines aus zwei quantenmechanischen Systemen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zusammengesetzten Systems ist eine notwendige Bedingung für die Separabilität der Dichtematrix.

Im Falle v​on 2x2 u​nd 2x3 Dimensionen i​st das Peres-Horodecki-Kriterium a​uch hinreichend, d h. alle Zustände, d​ie das Kriterium erfüllen s​ind separabel.[1] In höherdimensionalen Räumen i​st das Kriterium n​icht mehr hinreichend: e​s gibt a​uch verschränkte Zustände, d​ie die PPT-Bedingung erfüllen („PPT-verschränkte Zustände“) u​nd weitere Methoden müssen z​ur Hand genommen werden, u​m sie v​on separablen Zuständen z​u unterscheiden.[2]

Definition

Gegeben sei ein allgemeiner, gemischter Zustand ${\displaystyle \rho _{AB}}$, welcher auf ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$ wirkt. Dann gilt

${\displaystyle \rho _{AB}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$.

Die bezüglich ${\displaystyle B}$ partiell transponierte Matrix wird definiert als

${\displaystyle \rho _{AB}^{T_{B}}:=I\otimes T(\rho _{AB})=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes (|k\rangle \langle l|)^{T}=\sum _{ijkl}p_{kl}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |l\rangle \langle k|=\sum _{ijkl}p_{lk}^{ij}|i\rangle \langle j|\otimes |k\rangle \langle l|}$.

Partiell bedeutet in diesem Fall, dass nur ein Teil des Zustandes transponiert wird. Im Ausdruck ${\displaystyle I\otimes T(\rho )}$ wird ersichtlich, dass der Einheitsoperator ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle A}$ wirkt und ihn somit unverändert lässt, und die Transposition ${\displaystyle T}$ auf ${\displaystyle B}$ wirkt.

Das Peres-Horodecki-Kriterium besagt, dass falls ${\displaystyle \rho _{AB}}$ separabel ist, dann ${\displaystyle \rho _{AB}^{T_{B}}}$ positiv semidefinit ist, d. h. nur nicht-negative Eigenwerte haben. Umgekehrt bedeutet das, dass falls ${\displaystyle \rho _{AB}^{T_{B}}}$ negative Eigenwerte besitzt, das System verschränkt ist. Im Allgemeinen kommt es nicht darauf an, ob wie im Beispiel System ${\displaystyle B}$ transponiert wird oder System ${\displaystyle A}$ mit ${\displaystyle \rho _{AB}^{T_{A}}}$, da ${\displaystyle \rho _{AB}^{T_{A}}}$ und ${\displaystyle \rho _{AB}^{T_{B}}=(\rho _{AB}^{T_{A}})^{T}}$ dieselben Eigenwerte haben.

Beispiele

Die Qubit-Familie d​er Werner-Zustände werden betrachtet:

${\displaystyle \rho _{AB}=p|\Psi ^{-}\rangle \langle \Psi ^{-}|+(1-p){\frac {I}{4}}}$

Die Dichtematrix lautet

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&0\\0&p+1&-2p&0\\0&-2p&p+1&0\\0&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$

und d​ie partiell transponierte Matrix

${\displaystyle \rho ^{T_{B}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1-p&0&0&-2p\\0&p+1&0&0\\0&0&p+1&0\\-2p&0&0&1-p\end{pmatrix}}}$.

Der niedrigste Eigenwert ist ${\displaystyle (1-3p)/4}$. Daraus folgt, dass der Zustand für ${\displaystyle p>1/3}$ verschränkt ist.

Beispiele für PPT-verschränkte Zustände auf ${\displaystyle H=\mathbf {C} ^{4}\otimes \mathbf {C} ^{4}}$ sind die Dichtematritzen

${\displaystyle {\frac {1}{7b+1}}{\begin{pmatrix}b&0&0&0&0&b&0&0\\0&b&0&0&0&0&b&0\\0&0&b&0&0&0&0&b\\0&0&0&b&0&0&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1+b}{2}}&0&0&{\tfrac {\sqrt {1-b^{2}}}{2}}\\b&0&0&0&0&b&0&0\\0&b&0&0&0&0&b&0\\0&0&b&0&{\tfrac {\sqrt {1-b^{2}}}{2}}&0&0&{\tfrac {1+b}{2}}\\\end{pmatrix}}}$.

für Werte von ${\displaystyle 0<b<1}$. Die Matrix ist in der Standardbasis ${\displaystyle |i\rangle \otimes |j\rangle ,i,j=1,\dots ,4}$ angegeben.[2]

Literatur

• Asher Peres: Separability Criterion for Density Matrices. In: Phys. Rev. Lett. Band 77, 1996, S. 1413–1415, doi:10.1103/PhysRevLett, arxiv:quant-ph/9604005.
• R. Horodecki, P. Horodecki, M. Horodecki, K. Horodecki: Quantum entanglement. In: Rev. Mod. Phys. Band 81, 2009, S. 865–942, S. 882f, doi:10.1103/RevModPhys.81.865, arxiv:quant-ph/0702225.
• Karol Życzkowski, Ingemar Bengtsson: Geometry of Quantum States. Cambridge University Press, 2006, Kap. 16 (Entwurf von Kap. 16 Quantum Entanglement [PDF]).

Einzelnachweise

1. M. Horodecki; P. Horodecki, R. Horodecki: Separability of mixed states: necessary and sufficient conditions. In: Phys. Lett. A. Band 223, 1996, S. 1, doi:10.1016/S0375-9601(96)00706-2, arxiv:quant-ph/9605038.
2. P. Horodecki: Separability Criterion and inseparable mixed states with positive partial transpose. In: Phys. Lett. A. Band 232, 1997, S. 333, doi:10.1016/S0375-9601(97)00416-7, arxiv:quant-ph/9703004.