Pascalsches Simplex

Die pascalschen Simplizes sind – analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder – geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten. Im pascalschen d-Simplex ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.[1]

Zum Begriff

Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension $d$ ( $d\geq 1$ natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}$ zuordnen ( $n,k_{1},\ldots ,k_{d-1}$ sind die jeweiligen Koordinaten, $k_{d}$ ergibt sich durch $n-k_{1}-\ldots -k_{d-1}$ ). Die Einhüllende der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein $d$ -dimensionales, in $n$ -Richtung unbeschränktes „Simplex“ (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

Eigenschaften

Die $n$ -te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes $n$ ) für $n>0$ lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für $n-1$ ) berechnen: ${\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}={\binom {n-1}{k_{1}-1,\ldots ,k_{d}}}+{\binom {n-1}{k_{1},k_{2}-1,\ldots ,k_{d}}}+\ldots +{\binom {n-1}{k_{1},\ldots ,k_{d}-1}}$ . Auf der Ebene $0$ ist der einzige Eintrag eine $1$ , aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben.
Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt $d^{n-1}$ .
Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch ${\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1},0}}={\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1}}}$ ausdrücken.

Einzelnachweise

Peter Hilton, Derek Holton, Jean Pedersen: Mathematical Vistas. From a Room with Many Windows. Springer, New York u. a. 2002. ISBN 978-0-387-95064-8. S. 188–190.

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[1] Peter Hilton, Derek Holton, Jean Pedersen: Mathematical Vistas. From a Room with Many Windows. Springer, New York u. a. 2002. ISBN 978-0-387-95064-8. S. 188–190.