O-minimale Struktur

In d​er Mathematik s​ind o-minimale Strukturen e​ine Axiomatisierung u​nd Verallgemeinerung d​er Eigenschaften semialgebraischer Mengen. Die Elemente e​iner o-minimalen Struktur heißen definierbare Mengen u​nd sie h​aben viele Eigenschaften m​it semialgebraischen Mengen gemeinsam. Zum Beispiel h​aben sie n​ur endlich v​iele Zusammenhangskomponenten.

Definition

Eine Folge ${\displaystyle \xi _{n}}$ von Familien von Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist eine o-minimale Struktur, wenn

• sie unter den mengentheoretischen Operationen eine Boolesche Algebra bildet,
• ${\displaystyle \xi _{n}}$ alle semialgebraischen Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ enthält,
• aus ${\displaystyle A\in \chi _{n}}$ und ${\displaystyle B\in \chi _{m}}$ folgt ${\displaystyle A\times B\in \chi _{n+m}}$,
• aus ${\displaystyle m\geq n}$ und ${\displaystyle A\in \chi _{m}}$ folgt ${\displaystyle \pi (A)\in \chi _{n}}$ für die Projektion ${\displaystyle \pi }$ auf die ersten ${\displaystyle n}$ Koordinaten,
• für alle ${\displaystyle A\in \chi _{1}}$ der Rand von ${\displaystyle A}$ eine endliche Menge ist.

Beispiele

• Die semialgebraischen Mengen bilden eine o-minimale Struktur.
• Die subanalytischen Mengen bilden keine o-minimale Struktur.
• Die global subanalytischen Mengen bilden eine o-minimale Struktur ${\displaystyle \mathbb {R} _{an}}$.[1][2]
• Die Menge der Teilmengen ${\displaystyle X=\pi (f^{-1}(0))\subset \mathbb {R} ^{n}}$ für ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})=Q(x_{1},\ldots ,x_{m},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{m}})}$ mit einem Polynom ${\displaystyle Q\in \mathbb {R} \left[X_{1},\ldots ,X_{2m}\right]}$ und der Projektion ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ auf die ersten ${\displaystyle n}$ Koordinaten ist eine o-minimale Struktur ${\displaystyle \mathbb {R} _{exp}}$.[3]
• Die Vereinigung ${\displaystyle \mathbb {R} _{an,exp}:=\mathbb {R} _{an}\cup \mathbb {R} _{exp}}$ ist eine o-minimale Struktur.[4]

Literatur

• Lou van den Dries: Tame topology and o-minimal structures. London Mathematical Society Lecture Note Series 248. Cambridge University Press (1998)

Weblinks

• o-minimal structure (nLab)

Einzelnachweise

1. A. M. Gabrielow: Projections of semianalytic sets (Russisch) Funkt. Anal. i Pril. 2, no.4, 18-30 (1968)
2. L. v. d. Dries: A generalization of the Tarski-Seidenberg theorem, and some nondefinability results Bull. AMS 15, no.2, 189-193 (1986)
3. A. J. Wilkie: Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function J. AMS 9, no. 4, 1051-1094 (1996)
4. L. v. d. Dries, C. Miller: Geometric categories and o-minimal structures Duke Math. J. 84, no. 2, 497-540 (1996)