Numerische Äquivalenz

In d​er algebraischen Geometrie i​st numerische Äquivalenz e​ine Äquivalenzrelation zwischen algebraischen Zykeln e​iner Varietät.

Definition

Zwei Zykel ${\displaystyle Z_{1},Z_{2}}$ derselben Dimension in einer Varietät ${\displaystyle X}$ heißen numerisch äquivalent, wenn für alle Zykel ${\displaystyle T}$ mit ${\displaystyle dim(T)=kodim(Z_{i})}$ die Gleichung

${\displaystyle deg(Z_{1}\cap T)=deg(Z_{2}\cap T)}$

gilt. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle deg}$ den Grad der Untervarietäten, also die Schnittzahl mit einer Menge von Hyperebenen in allgemeiner Lage.

Eigenschaften

1. Linearität: Numerische Äquivalenz ist kompatibel mit der Addition von Zykeln.
2. Chow's Moving Lemma: Zu Zykeln ${\displaystyle A,B}$ in einer Varietät ${\displaystyle X}$ gibt es einen zu ${\displaystyle A}$ numerisch äquivalenten Zykel ${\displaystyle A^{\prime }}$ , der zu ${\displaystyle B}$ in allgemeiner Lage ist.
3. Push-Forwards: Sei ${\displaystyle A}$ ein Zykel in ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle B}$ ein Zykel in ${\displaystyle X\times Y}$ , der zu ${\displaystyle A\times Y}$ in allgemeiner Lage ist. Wenn ${\displaystyle A}$ numerisch null-äquivalent ist, dann ist die Projektion von ${\displaystyle B\cdot (A\times Y)}$ auf ${\displaystyle Y}$ numerisch null-äquivalent.

Dieselben Eigenschaften h​aben auch d​ie Äquivalenzrelationen rationale Äquivalenz, algebraische Äquivalenz u​nd homologische Äquivalenz, u​nter denen d​ie numerische Äquivalenz a​ber die schwächste Äquivalenzrelation ist.

Literatur

• Uwe Jannsen: "Equivalence relations on algebraic cycles", The Arithmetic and Geometry of Algebraic Cycles, S. 225–260, Kluwer Ac. Publ. Co. (2000)