Nichtexpansive Abbildung

Der Begriff d​er nichtexpansiven Abbildung entstammt d​er Funktionalanalysis, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik. Die nichtexpansiven Abbildungen zählen z​u den lipschitzstetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen. Sie s​ind unter anderem bedeutsam i​m Zusammenhang m​it Fixpunktsätzen.

Definition

Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ für zwei metrische Räume ${\displaystyle (X,d_{X})}$ und ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ heißt nichtexpansiv, wenn stets die folgende Ungleichung erfüllt ist:

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq d_{X}(x_{1},x_{2})\;(\forall x_{1},x_{2}\in X)}$

Erfüllt eine solche Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ für ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ mit ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ sogar stets die strenge Ungleichung

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<d_{X}(x_{1},x_{2})}$   ,

so nennt man ${\displaystyle f}$ strikt nichtexpansiv.

Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk

Zu d​en nichtexpansiven Abbildungen v​on metrischen Räumen in sich zählen n​icht zuletzt a​uch die kontraktiven Abbildungen. Wie b​ei letzteren stellt s​ich auch für erstere d​ie Frage n​ach der Existenz v​on Fixpunkten. Eine Antwort a​uf diese Frage liefert d​er Fixpunktsatz v​on Browder-Göhde-Kirk. Er i​st verwandt m​it den Fixpunktsätzen v​on Banach u​nd Schauder u​nd geht a​uf Arbeiten v​on Felix Earl Browder, Dietrich Göhde u​nd William A. Kirk a​us den 1960er Jahren zurück.

Der Fixpunktsatz v​on Browder-Göhde-Kirk lässt s​ich zusammengefasst darstellen w​ie folgt:[1][2][3]

Gegeben seien ein gleichmäßig konvexer Banachraum ${\displaystyle E}$ und darin eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge ${\displaystyle X\subseteq E}$.

Sei weiterhin ${\displaystyle f\colon X\to X}$ eine nichtexpansive Abbildung, also dergestalt, dass stets die Ungleichung ${\displaystyle \|{f(x_{1})-f(x_{2})}\|_{E}\leq \|{x_{1}-x_{2}}\|_{E}\;(\forall x_{1},x_{2}\in X)}$ erfüllt sei.

Dann gilt:

Die Fixpunktmenge ${\displaystyle \operatorname {Fix} (f)=\{x\in X\colon f(x)=x\}}$ ist eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Teilmenge von ${\displaystyle X}$.

Insbesondere gibt es ein ${\displaystyle x_{0}\in X}$ mit ${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$ .

Der Fixpunktsatz v​on Browder-Göhde-Kirk g​ab Anlass z​u einer Anzahl v​on Folgeuntersuchungen, d​ie zu verschiedenen Beweisvarianten u​nd Verallgemeinerungen führten.

Anmerkungen

• Die nichtexpansiven Abbildungen sind genau diejenigen lipschitzstetigen Abbildungen ${\displaystyle f}$ zwischen metrischen Räumen, welche die Lipschitz-Konstante ${\displaystyle \operatorname {Lip} _{f}\leq 1}$ besitzen.
• Fixpunkteigenschaften gewisser strikt nichtexpansiver Abbildungen behandelt der Satz von Edelstein.

Literatur

• Felix E. Browder: Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 54, 1965, S. 1041–1044, JSTOR:73047 (MR0187120).
• Kazimierz Goebel: An elementary proof of the fixed-point theorem of Browder and Kirk. In: Michigan Mathematical Journal. Band 16, 1969, S. 381–383, doi:10.1307/mmj/1029000322 (MR0251604).
• Dietrich Göhde: Zum Prinzip der kontraktiven Abbildung. In: Mathematische Nachrichten. Band 30, 1965, S. 251–258, doi:10.1002/mana.19650300312 (MR0190718).
• Vasile I. Istrățescu: Fixed Point Theory. An Introduction. With a Preface by Michiel Hazewinkel (= Mathematics and its Application. Band 7). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Bosto, London 1981, ISBN 90-277-1224-7 (MR0620639).
• Jacek Jachymski: Another proof of the Browder-Göhde-Kirk theorem via ordering argument. In: Bulletin of the Australian Mathematical Society. Band 65, 2002, S. 105–107, doi:10.1017/S0004972700020104 (MR1889383).
• W. A. Kirk: A fixed point theorem for mappings which do not increase distances. In: American Mathematical Monthly. Band 72, 1965, S. 1004–1006, JSTOR:2313345 (MR0189009).
• James M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. (Unabridged republication of the work first published by Academic Press, New York and London, 1970) (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia 2000, ISBN 0-89871-461-3, S. 404–407 (MR1744713).
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser Verlag, Boston / Basel / Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779).
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
• Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications. I: Fixed-Point Theorems. Translated by Peter R. Wadsack. Springer Verlag, New York / Berlin / Heidelberg / Tokyo 1986, ISBN 0-387-90914-1 (MR0816732).

Einzelnachweise

1. Eberhard Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I 1986, S. 478
2. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2007, S. 173
3. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 244