New Foundations
New Foundations (NF) ist der Name einer axiomatischen Mengenlehre von Willard Van Orman Quine, benannt nach dessen Aufsatz New Foundations for Mathematical Logic (Neue Grundlagen der mathematischen Logik) von 1937. NF tendiert in mancher Hinsicht zur Typentheorie und benutzt zur Mengenbildung stratifizierte oder geschichtete Ausdrücke. NF enthält neben dem Extensionalitätsaxiom ein Komprehensionsschema, das für unendlich viele Einzelaxiome steht und zur Mengenkonstruktion dient. Theodore Hailperin zeigte 1944, dass NF endlich axiomatisierbar ist, dass also das Komprehensionsschema durch endlich viele Einzelaxiome (9 Axiome) ersetzt werden kann. NF unterscheidet sich von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in vielen Punkten: Das Fundierungsaxiom gilt hier nicht, da es in NF Mengen gibt, die Element von sich selbst sind, etwa die Allmenge; das steht im Widerspruch zu Folgerungen aus dem Fundierungsaxiom. Auch das Auswahlaxiom kann nicht als Axiom zu NF hinzu genommen werden – Ernst Specker bewies 1949 dessen Unverträglichkeit mit den übrigen Axiomen von NF. Außerdem kann man die Existenz der Menge der natürlichen Zahlen nicht beweisen. Der NF-Mengenbegriff weicht also stark vom eingebürgerten Mengenbegriff ab, so dass man NF eher als eine Theorie real existenter Klassen auffassen kann.
Mathematical Logic
In seinem Buch Mathematical Logic (Mathematische Logik) erweiterte Quine 1940 NF zu ML. Er fügte den Axiomen von NF ein Klassenexistenzaxiom hinzu, ein Schema, das für unendlich viele Einzelaxiome steht, das Mengen zu Klassen zusammenfasst. Allerdings gestattete er im Mengenbildungsaxiom der 1. Auflage seines Buches die Benutzung von Klassenvariablen als Parameter, die nicht quantifiziert werden durften. 1942 zeigte John Barkley Rosser, dass sich in diesem Axiomensystem das Burali-Forti-Paradoxon herleiten lässt. Hao Wang versperrte dieser Antinomie den von Rosser aufgezeigten Weg nach ML, in dem er in seinem Aufsatz von 1950 das Mengenexistenzschema aus NF auch in ML benutzte. Quine setzte es dann in späteren revidierten Auflagen seiner Mathematical Logic ebenfalls ein. Daher ist das Mengenexistenzaxiom wie in NF endlich axiomatisierbar, während es für das Klassenexistenzaxiom noch eine offene Frage ist.
Literatur
- Hailperin, Theodore: A new set of axioms for logic, in: Journal of Symbolic Logic Bd. 9 (1944), S. 1–19.
- Quine, Willard Van Orman: New Foundations for Mathematical Logic, in: Am. Math. Monthly 44 (1937), S. 70–80.
- Quine, Willard Van Orman: From a logical Point of view. 9 logico-philosophical essays, Harvard U.P., Cambridge, Mass. 1953, S. 80–101.
- Quine, Willard Van Orman: Mathematical Logic. Harvard University Press, 4. Auflage 1981, 1. Auflage 1940
- Rosser, John Barkley: Burali-Forti paradox, in: Journal of Symbolic Logic, Bd. 7 (1942), S. 1–17
- Specker, Ernst Paul: The axiom of choice in Quine's New Foundations for Mathematical Logic, in: Journal of Symbolic Logic, Bd. 14 (1949), S. 145–158
- Wang, Hao: A formal system for logic, in: Journal of Symbolic Logic, Bd. 15 (1950), S. 25–32
Weblinks
- Thomas Forster: Quine's New Foundations. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Randall Holmes: New Foundations Home Page.