Negationstreu

Negationstreu (engl.: negation complete) ist eine Eigenschaft von Folgen ${\displaystyle \Phi }$ von prädikatenlogischen Ausdrücken. Diese Eigenschaft wird – in Verwechslungsgefahr zu andersgemeinten Begriffen der Vollständigkeit – auch syntaktisch vollständig (in der englischsprachigen Literatur auch syntactically complete, deductively complete or maximally complete) genannt.

Definition: Eine Menge ${\displaystyle \Phi }$ von prädikatenlogischen Ausdrücken heißt negationstreu, wenn für jeden beliebigen Ausdruck ${\displaystyle \phi }$ gilt:

${\displaystyle \Phi \vdash \phi }$ oder ${\displaystyle \Phi \vdash \neg \phi }$ .

Man kann es auch anders ausdrücken: Ein formales System, gegeben durch die Axiomenmenge ${\displaystyle \Phi }$ , ist negationstreu oder syntaktisch vollständig, wenn jedes weitere Axiom, das nicht selbst schon aus ${\displaystyle \Phi }$ ableitbar ist, zu einem Widerspruch führt.

Bedeutung

Die Bedeutung d​es Begriffs negationstreu l​iegt in seiner Rolle a​ls Beweishilfsmittel für d​en Satz v​on Henkin, d​er seinerseits a​ls Hilfsmittel für e​inen alternativen Beweis v​on Gödels Vollständigkeitssatz d​er Prädikatenlogik erster Stufe ist.

Literatur

Hans Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas: Einführung i​n die mathematische Logik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2007, ISBN 3-8274-1691-4.