Mostowski-Kollaps

Der Mostowski-Kollaps (auch: Mostowski’scher Isomorphiesatz) i​st ein Satz a​us der Mengenlehre, d​er zuerst 1949 v​on dem polnischen Mathematiker Andrzej Mostowski formuliert wurde. Er i​st vor a​llem bei d​er Konstruktion v​on Modellen e​in wichtiges Hilfsmittel.

Definition

Sogenannter Kollaps der ungeraden auf die natürlichen Zahlen

Sei ${\displaystyle \prec }$ eine zweistellige wohlfundierte Relation auf einer Klasse ${\displaystyle C}$. Über wohlfundierte Rekursion definiere für ${\displaystyle x\in C}$ den transitiven Kollaps durch: ${\displaystyle \pi (x)=\{\pi (z)\mid z\prec x\}}$.

Für die Abbildung ${\displaystyle \pi :C\rightarrow \pi (C)}$ gilt dann:

• ${\displaystyle x\prec y\Rightarrow \pi (x)\in \pi (y)}$
• ${\displaystyle \pi (C)}$ ist eine transitive Klasse.

Ist ${\displaystyle E}$ zusätzlich extensional, das heißt, wenn aus ${\displaystyle \{z\mid z\prec x\}=\{z\mid z\prec y\}}$ schon ${\displaystyle x=y}$ für alle ${\displaystyle x,y\in C}$ folgt, so gilt darüber hinaus:

• ${\displaystyle \pi }$ ist bijektiv
• ${\displaystyle x\prec y\Leftrightarrow \pi (x)\in \pi (y)}$.

${\displaystyle \pi }$ stellt also einen Isomorphismus zwischen den Strukturen ${\displaystyle \langle C,\prec \rangle }$ und ${\displaystyle \langle \pi (C),\in \rangle }$ dar, und ${\displaystyle \pi (C)}$ ist die einzige transitive Menge, die (mit der Relation ${\displaystyle \in }$) zu ${\displaystyle \langle C,\prec \rangle }$ isomorph ist.

Beispiele

• Sei ${\displaystyle C=\{1,3,5,\dots \}}$ die Menge der ungeraden Zahlen, und ${\displaystyle {\prec }={<}}$ die übliche Ordnung. Dann ist ${\displaystyle \prec }$ wohlfundiert und extensional. Es gilt: ${\displaystyle \pi (C)=\omega }$ und ${\displaystyle \pi (2n+1)=n}$. Jede ungerade Zahl wird also auf die kleinste noch freie natürliche Zahl abgebildet. Daher auch der Name Kollaps.
• Ist ${\displaystyle <}$ eine Wohlordnung auf ${\displaystyle C}$, dann ist ${\displaystyle \pi (C)}$ der Ordnungstyp von ${\displaystyle (C,<)}$, also die eindeutig bestimmte Ordinalzahl, die zu ${\displaystyle (C,<)}$ ordnungsisomorph ist. Der Mostowski-Kollaps kann also als Verallgemeinerung der Ordinalzahldefinition angesehen werden.
• Sei ${\displaystyle P}$ eine partielle Ordnung, und ${\displaystyle G\subset P}$ ein Filter. Definiere die (wohlfundierte) Relation ${\displaystyle \in _{G}}$ durch: ${\displaystyle x\in _{G}y\Leftrightarrow \exists p\in G\colon (x,p)\in y}$. Ist ${\displaystyle M}$ ein abzählbares transitives Modell von ZFC und ist ${\displaystyle G}$ zusätzlich ${\displaystyle M}$-generisch, so definiert der Kollaps von ${\displaystyle \langle M,\in _{G}\rangle }$ das Modell ${\displaystyle \langle M[G],\in \rangle }$, welches eine fundamentale Rolle in der Forcing-Methode spielt.

Literatur

• Mostowski, Andrzey: An undecidable arithmetical statement, Fundamenta Mathematicae 36 (1949).
• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.