Moser-Ungleichung

Die Moser-Ungleichungen sind mathematische Ungleichungen und werden im Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Sie dienen der Abschätzung der ${\displaystyle L^{2}}$-Norm von Funktionen aus den Sobolew-Räumen. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Jürgen Moser. Für die Existenzbeweise von quasilinearen Systemen spielen sie eine große Rolle, da in diesen Systemen oft mit der ${\displaystyle L^{2}}$-Normung gearbeitet wird.

Formulierung der Moserungleichung

Mit ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{m})}$ wird der ${\displaystyle L^{p}}$-Raum und mit ${\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{m})}$ für ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$ der Sobolev-Raum der ${\displaystyle L^{2}}$-Funktionen bezeichnet. Dann gibt es eine positive Konstante ${\displaystyle C_{s}\in \mathbb {R} _{>0}}$ so, dass für alle Funktionen ${\displaystyle f,\,g\in H^{s}(\mathbb {R} ^{m})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})}$ und für jeden Multiindex ${\displaystyle \alpha }$ mit ${\displaystyle \left|\alpha \right|=s}$ die Ungleichung[1]

${\displaystyle \|D^{\alpha }(f\cdot g)\|_{L^{2}}\leqq C_{s}\left(\|f\|_{L^{\infty }}\|g\|_{L^{2}}+\|D^{s}f\|_{L^{2}}\|g\|_{L^{\infty }}\right)}$

gilt.

Wird zusätzlich angenommen, dass ${\displaystyle f}$ einmal schwach differenzierbar ist, also ${\displaystyle f\in H^{s}(\mathbb {R} ^{m})\cap W^{1,\infty }(\mathbb {R} ^{m})}$ gilt, wobei ${\displaystyle W^{1,\infty }(\mathbb {R} ^{m})}$ den Sobolev-Raum der ${\displaystyle L^{1}}$-Funktionen bezeichnet, dann gilt die Ungleichung[1]

${\displaystyle \|D^{\alpha }(fg)-fD^{\alpha }g\|_{L^{2}}\leqq C_{s}\left(\|D^{s}f\|_{L^{2}}\|g\|_{L^{\infty }}+\|f\|_{L^{\infty }}\|D^{s-1}g\|_{L^{2}}\right).}$

Die Funktion ${\displaystyle g}$ ist hier aus dem Raum und ${\displaystyle H^{s-1}(\mathbb {R} ^{m})\cap L^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})}$.

Diese beiden Ungleichungen heißen Moser-Ungleichungen.

Beweisidee

Für den Beweis der zwei Ungleichungen betrachtet man zunächst den Spezialfall ${\displaystyle f,\,g\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})}$. Unter Verwendung der Leibnizregel schätzt man dann den Term mit der Gagliardo-Nirenberg-Ungleichung ab.

Einzelnachweise

1. Michael Eugene Taylor: Partial Differential Equations. Band 3: Nonlinear equations. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 0-387-94652-7 (Applied mathematical Sciences 117), S. 10–11.