Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung

Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung i​st eine Vermutung d​er Mathematik, welche e​ine Aussage über d​ie Verteilung d​er Nullstellen d​er riemannschen ζ-Funktion macht. Die Vermutung verbindet d​ie analytische Zahlentheorie m​it der Theorie d​er Zufallsmatrizen. Sie i​st somit Teil d​er stochastischen Zahlentheorie.

Sie wurde 1973 von Hugh Montgomery aufgestellt. Bei einem Gespräch mit Freeman Dyson fand man heraus, dass es sich um die Paar-Korrelationsfunktion der Eigenwerte von hermitischen Zufallsmatrizen (genauer aus dem gaußschen unitären Ensemble) handelt.[1] Es handelt sich um den ${\displaystyle \operatorname {Sine} }$-Kern, der bei Betrachtung der Eigenwerte einer unendlich-dimensionaler hermitschen Zufallsmatrix innerhalb der "Bulk"-Region auftaucht (d. h. die Region der Eigenwerte, die sich nicht am Rand des Spektrums befinden).

Montgomerys Paar-Korrelation Vermutung

Unter Annahme d​er riemannschen Vermutung (RH).

Mit ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }$ und ${\displaystyle \rho '={\frac {1}{2}}+i\gamma '}$ bezeichne man zwei nicht-triviale Nullstellen der riemannschen ζ-Funktion. ${\displaystyle \delta _{0}}$ bezeichnet das Diracmaß. Die Vermutung lautet:

Formulierung

Sei ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ fix, dann gilt mit ${\displaystyle T\to \infty }$

${\displaystyle N(T;\alpha ,\beta )\,\colon =\,\sum _{A}1\,\sim \,\left(\int \limits _{\alpha }^{\beta }\left(1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} u+\delta _{0}([\alpha ,\beta ])\right){\frac {T}{2\pi }}\log(T)}$

wobei ${\displaystyle A=\{(\gamma ,\gamma '):0<\gamma ,\gamma '\leq T{\text{ und }}2\pi \alpha /\log(T)\leq \gamma -\gamma '\leq 2\pi \beta /\log(T)\}}$, das heißt ${\displaystyle N(T;\alpha ,\beta )}$ ist definiert als die Mächtigkeit dieser Menge.

Alternative Formulierung

Sei ${\displaystyle \alpha <\beta }$ fix. Seien ${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{j}}$ skalierte Imaginärteile der Nullstellen, i.e. ${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{j}={\tfrac {\gamma _{j}\log(\gamma _{j})}{2\pi }}}$, dann gilt (für die Paare)[2]

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\#{\Big \{}(j_{1},j_{2}):1\leq j_{1},j_{2}\leq n,\alpha <{\hat {\gamma }}_{j_{1}}-{\hat {\gamma }}_{j_{2}}<\beta {\Big \}}}{n}}=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\left(1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} u}$

Evidenz

Andrew Odlyzko berechnete numerisch ${\displaystyle 10^{5}}$ nicht-triviale Nullstellen der riemannsche ζ-Funktion, deren Verteilung sich der Paar-Korrelationsfunktion des gaußschen unitären Ensemble näherte.

Hilbert-Pólya Vermutung

In einem Brief von Andrew Odlyzko an George Pólya fragte er diesen, ob es einen physikalischen Grund gäbe, warum die Riemmanische Vermutung wahr sein sollte. Pólya antwortete ihm, dass ihm in Göttingen in der Zeit zwischen 1912 und 1914 von Edmund Landau dieselbe Frage gestellt worden sei. Er gab diesem damals die Antwort, dass er vermutet, dass die Imaginärteile der Nullstellen der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }$ mit den Eigenwerten eines selbstadjungierten Operators übereinstimmen.

Durch Montgomerys Paar-Korrelation-Vermutung b​ekam diese Vermutung über d​ie Eigenwerte e​iner Matrix a​us dem gaußschen unitären Ensemble e​ine solide Basis z​u einem möglichen Lösungsansatz d​er riemannischen Vermutung.[3]

Einzelnachweise

1. Hugh Montgomery: The Pair correlation of zeros of the zeta function. Abgerufen am 27. März 2021.
2. Tiago Pereira: Lectures on Random Matrices. Abgerufen am 1. April 2021.
3. Andrew Odlyzko: Correspondence about the origins of the Hilbert-Polya Conjecture. University of Minnesota, abgerufen am 11. April 2021.