Monotone Zahlenfolge

Eine monotone Zahlenfolge i​st eine spezielle Folge, b​ei der Anforderungen a​n das Wachstumsverhalten d​er Folge gestellt werden. Werden d​ie Folgeglieder i​mmer größer, s​o heißt d​ie Folge e​ine monoton wachsende Folge o​der monoton steigende Folge, werden s​ie immer kleiner, s​o heißt s​ie eine monoton fallende Folge. Eine Verschärfung d​er Anforderungen liefert d​ann den Begriff d​er streng monoton wachsenden Folge u​nd streng monoton fallende Folge. Die Monotonie e​iner Folge i​st ein wichtiges Mittel, u​m die Konvergenz v​on Folgen z​u zeigen u​nd lässt s​ich als Spezialfall e​iner monotonen Abbildung auffassen.

Definition

Ist eine Folge reeller Zahlen ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )}$ gegeben, so heißt diese Folge

• Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, dass ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$.
• Streng monoton wachsend oder streng monoton steigend, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, dass ${\displaystyle a_{n+1}>a_{n}}$.
• Monoton fallend, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, dass ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$.
• Streng monoton fallend, wenn für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt, dass ${\displaystyle a_{n+1}<a_{n}}$.
• Monoton, wenn sie monoton wachsend oder monoton fallend ist.
• Streng monoton, wenn sie entweder streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist.

Beispiele

• Die Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left((-1)^{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }=(-1,1,-1,1,-1,1,\dotsc )}$ ist weder monoton wachsend noch fallend, also auch nicht monoton.
• Die Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left({\tfrac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }=(1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dotsc )}$ ist streng monoton fallend, denn bildet man die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenwerte ${\displaystyle a_{k}-a_{k+1}={\tfrac {1}{k(k+1)}}}$, so ist diese immer echt positiv, demnach ist ${\displaystyle a_{k}>a_{k+1}}$. Damit ist diese Folge insbesondere auch monoton fallend und damit auch monoton.
• Die Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left(-{\tfrac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ ist streng monoton wachsend. Die Argumentation funktioniert genau wie oben, aber mit umgedrehtem Vorzeichen.
• Eine Folge, die monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend ist, lässt sich mittels der Gaußklammer definieren als ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left(\lfloor {\tfrac {k}{2}}\rfloor \right)_{k\in \mathbb {N} }=(0,1,1,2,2,3,3,\dotsc )}$. Da hier bereits einmal ein Wert doppelt angenommen wird, kann die Folge nicht mehr streng monoton sein. Trotzdem ist sie monoton wachsend und damit auch monoton.

Eigenschaften

• Eine Folge ist genau dann eine konstante Folge, wenn sie zugleich monoton wachsend und monoton fallend ist.
• Jede monotone Folge konvergiert oder divergiert bestimmt.
• Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Genauer konvergiert nach dem Monotoniekriterium eine beschränkte, monoton fallende Folge gegen das Infimum ihrer Folgeglieder; entsprechend konvergiert eine beschränkte, monoton wachsende Folge gegen das Supremum ihrer Folgeglieder. Ebenso liefert dies die Existenz von Grenzwerten für unendliche Kettenbrüche.
• Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge.
• Der Begriff der Monotonie von Zahlenfolgen ist ein Spezialfall des Begriffs der Monotonie von Abbildungen. Dazu betrachtet man die beiden geordneten Mengen ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$ und ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$. Dann ist die Folge ${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ genau dann monoton wachsend (fallend), wenn die Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ definiert durch ${\displaystyle f(k)=a_{k}}$ monoton wachsend (fallend) ist.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig 2004. ISBN 3-528-67224-2