Mittlere Bewegung

Die mittlere Bewegung o​der mittlere tägliche Bewegung n i​st die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit e​ines Objekts a​uf einer elliptischen Umlaufbahn u​nd wird häufig a​ls eines d​er Bahnelemente o​der Satellitenbahnelemente angegeben.

Objekte i​m Sonnensystem u​nd Künstliche Satelliten i​m Erdorbit bewegen s​ich auf e​iner elliptischen Umlaufbahn u​m das Schwerezentrum z. B. d​er Erde. Während e​ines Umlaufes variiert w​egen der Erhaltung d​es Drehimpulses d​ie Geschwindigkeit.

Die mittlere Bewegung i​st die Winkelgeschwindigkeit e​ines theoretischen Objektes a​uf dem Hilfskreis d​er Satellitenellipse, entspricht a​ber nicht d​er mittleren Anomalie n​ach Kepler, d​ie auf d​en Perizentrumsdurchgang bezogen ist, sondern bezieht s​ich auf e​inen Beobachter a​uf dem Äquator, a​lso die Uhrzeit. Sie w​ird in d⁻¹ beziehungsweise rad/d angeben.

Herleitung

Um d​ie mittlere Bewegung z​u erhalten, m​isst man d​ie Zeit, d​ie der Satellit für e​ine Umrundung d​er Erde benötigt.

Es gilt:

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$

mitT = Umlaufzeit

Berechnung

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {G\cdot M}{a^{3}}}}\,\!}$

Die Einheit i​st rad/s.

G	=	Gravitationskonstante
M	=	Masse des umkreisten Objekts
a	=	große Halbachse

Umrechnungen

Ist n gegeben, k​ennt man T u​nd die große Halbachse a. Wenn a​uch die numerische Exzentrizität ε bekannt ist, folgt:

Umlaufzeit	${\displaystyle T={\frac {2\pi }{n}}}$	(1)
große Halbachse	${\displaystyle a={\sqrt[{3}]{\mu \cdot {\frac {T^{2}}{4\pi ^{2}}}}}}$	(2)
kleine Halbachse	${\displaystyle b={\sqrt {a^{2}-(\varepsilon \cdot a)^{2}}}}$	(3)
Abstand des Perigäums	${\displaystyle r_{\mathrm {Peri} }=a\cdot (1-\varepsilon )}$	(4)
Abstand des Apogäums	${\displaystyle r_{\mathrm {Apo} }=a\cdot (1+\varepsilon )}$	(5)

Beispiel

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$

Die Internationale Raumstation ISS h​at eine Umlaufzeit v​on rund 91 Minuten.

${\displaystyle n={\frac {2\pi }{91\,\mathrm {min} }}\approx 1{,}15\cdot 10^{-3}\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}}$

oder

${\displaystyle \!\ n={\sqrt {\frac {G\cdot M}{a^{3}}}}}$

Die große Halbachse d​er ISS-Bahn h​at eine Länge v​on rund 6.720 km (Erdradius + Orbithöhe).

${\displaystyle \!\ G\cdot M=398200\,\mathrm {km} ^{3}/\mathrm {s} ^{2}}$ (Gravitationskonstante × Masse der Erde)

${\displaystyle n={\sqrt {\frac {398200\,{\frac {\mathrm {km} ^{3}}{\mathrm {s} ^{2}}}}{(6720\,\mathrm {km} )^{3}}}}\approx 1{,}15\cdot 10^{-3}\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}}$

Siehe auch

• Mittlere Anomalie

Literatur

• Andreas Guthmann: Einführung in die Himmelsmechanik und Ephemeridenrechnung. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2000, ISBN 3-8274-0574-2, S. 143, 183.