Mills-Quotient

In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet der Mills-Quotient[1] einer stetigen Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ eine Funktion

${\displaystyle m(x):={\frac {{\bar {F}}(x)}{f(x)}},}$

wobei ${\displaystyle f(x)}$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion und

${\displaystyle {\bar {F}}(x):=\Pr[X>x]=\int _{x}^{+\infty }f(u)\,du}$

die komplementäre Verteilungsfunktion (auch Überlebensfunktion genannt) von ${\displaystyle X}$ bezeichnen. Das Konzept ist nach John P. Mills benannt.[2] Der Mills-Quotient steht in Beziehung[3] zur Ausfallrate ${\displaystyle h(x)}$, die definiert ist als

${\displaystyle h(x):=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{\delta }}\Pr[x<X\leq x+\delta |X>x]}$

durch

${\displaystyle m(x)={\frac {1}{h(x)}}.}$

Beispiel

Wenn ${\displaystyle X}$ normalverteilt ist, dann gilt asymptotisch

${\displaystyle m(x)\sim 1/x,\,}$

d. h. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }m(x)x=1}$.

Weblinks

• Mills Ratio (MathWorld)

Einzelnachweise

1. Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II, Springer, 2013, S. 25.
2. John P. Mills: Table of the Ratio: Area to Bounding Ordinate, for Any Portion of Normal Curve. In: Biometrika. 18, Nr. 3/4, 1926, S. 395–400. doi:10.1093/biomet/18.3-4.395.
3. Klein, J.P., Moeschberger, M.L.: Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data, Springer, 2003, p.27