Millertheorem

Das Millertheorem, benannt nach John Milton Miller, behandelt die Zerlegung von Impedanzen in elektrischen Netzen. Gibt es zwei Netze (Zweipole) die über eine reale Impedanz Z verbunden sind, so kann diese Impedanz virtuell so zerlegt werden, dass beide Netze getrennt betrachtet werden können. Das Millertheorem ist die Verallgemeinerung des Millereffekts.

Zweipol-Schaltbild

Die Zerlegung in Z₁ und Z₂ ist dann korrekt, wenn beide Netze nach der Zerlegung die gleichen Impedanzen sehen wie vorher.

Die beiden Spannungen sind über die Verstärkung

M={\frac {U_{2}}{U_{1}}}

verknüpft, womit sich dann für die zerlegten Impedanzen Z₁ und Z₂:

Z_{1}=Z{\frac {1}{1-M}}

Z_{2}=Z{\frac {M}{M-1}}

ergibt.

Zu beachten ist, dass bei einer Verstärkung M größer eins die Impedanz Z₁ negativ ist, wenn Z positiv ist. Bei einem invertierenden Verstärker M kleiner minus −1 verringert sich die Impedanz Z₁ im Vergleich zu Z deutlich.

Herleitung

Die Spannung U_Z über die Impedanz Z ergibt sich aus der Differenz der Klemmenspannungen, wobei die Substitution durch M die aufgeführte Umwandlung ergibt.

I={\frac {U_{Z}}{Z}}={\frac {U_{1}-U_{2}}{Z}}={\frac {U_{1}}{Z}}\left(1-{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right)={\frac {U_{1}}{Z}}(1-M)

Gleichzeitig gilt für die „gesehene“ Impedanz Z₁:

I=I_{1}={\frac {U_{1}}{Z_{1}}}

Durch Gleichsetzen folgt:

{\frac {U_{1}}{Z_{1}}}={\frac {U_{1}}{Z}}(1-M)

und durch Äquivalenzumformung ergibt sich schließlich:

Z_{1}={\frac {Z}{1-M}}

.

Analog gilt für die „gesehene“ Impedanz Z₂:

I={\frac {U_{Z}}{Z}}={\frac {U_{1}-U_{2}}{Z}}={\frac {U_{2}}{Z}}\left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}-1\right)={\frac {U_{2}}{Z}}\left({\frac {1}{M}}-1\right)={\frac {U_{2}}{Z}}{\frac {1}{M}}\left(1-M\right)

I=-1\cdot I_{2}=-1\cdot {\frac {U_{2}}{Z_{2}}}

-1\cdot {\frac {U_{2}}{Z_{2}}}={\frac {U_{2}}{Z}}{\frac {\left(1-M\right)}{M}}

Z_{2}=Z{\frac {M}{M-1}}

Literatur

Richard C. Li: RF Circuit Design. In: Information and Communication Technology. 2. Auflage. Wiley, 2012, ISBN 978-1-118-12849-7.

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