Mengenverband

In d​er Mathematik i​st ein Mengenverband e​in Grundbegriff d​er Maßtheorie u​nd der Verbandstheorie. Er bezeichnet e​in nicht leeres Mengensystem, d​as vereinigungs- u​nd durchschnittsstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund „einer ungefähren Analogie“ z​ur algebraischen Struktur e​ines Ringes i​n der algebraischen Zahlentheorie e​inen Mengenverband „Ring“.[1] Unter e​inem Ring versteht m​an heute i​n der Maßtheorie jedoch e​inen speziellen Mengenverband, w​eil dieser i​n einem e​ngen Zusammenhang z​u einem Ring i​m Sinne d​er Algebra s​teht – i​m Unterschied z​u einem allgemeinen Mengenverband.

Definition

Sei ${\displaystyle \Omega }$ eine beliebige Menge. Ein System ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ von Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }$ heißt ein Mengenverband oder Verband über ${\displaystyle \Omega }$, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. ${\displaystyle {\mathcal {V}}\neq \emptyset }$ (${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ist nicht leer).
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {V}}}$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
3. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {V}}}$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt).

Beispiele

• Über jeder beliebigen Menge ${\displaystyle \Omega }$ ist mit ${\displaystyle \{A\},A\subseteq \Omega ,}$ ein kleinster und mit der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ der größte mögliche Mengenverband gegeben.
• Jede σ-Algebra ist ein Mengenverband (aber nicht jeder Mengenverband ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften

• Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede nicht leere, endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenverbandes ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ in ihm enthalten ist, d. h. für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt:

${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A_{1}\cup \dots \cup A_{n}\in {\mathcal {V}}}$ und ${\displaystyle A_{1}\cap \dots \cap A_{n}\in {\mathcal {V}}.}$

Äquivalente Definitionen

Wenn ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ein System von Teilmengen von ${\displaystyle \Omega }$ ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ist ein Mengenverband.
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup )}$ und ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cap )}$ sind Halbverbände im Sinne der Algebra.
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )}$ ist ein Verband im Sinne der Algebra.
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )}$ ist ein distributiver Verband im Sinne der Algebra.
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )}$ ist ein idempotenter kommutativer Halbring im Sinne der Algebra.[2]
• ${\displaystyle ({\mathcal {V}},\cup ,\cap )}$ ist ein Halbring im Sinne der Algebra.

Verwandte Strukturen

• Ein Mengenring ist ein Mengenverband, der zusätzlich differenzstabil ist.
• Eine Mengenalgebra ist ein Mengenverband, der sogar komplementstabil ist. Mengenalgebren sind spezielle Mengenringe.

Siehe auch

• Mengenlehre

Literatur

• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
• U. Hebisch, H. J. Weinert: Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993, ISBN 3-519-02091-2.
• Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim/Zürich 1985, ISBN 3-411-03102-6.
• Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. erw. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1967.

Anmerkungen und Einzelnachweise

1. Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig 1914, S. 14. Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als „Summe“.
2. Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines (Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie, also eines speziellen Mengensystems, beide stehen nicht im Zusammenhang!