Membrangleichung (Statik)

Die Membrangleichung beschreibt statisch e​ine Membran d​urch eine partielle Differentialgleichung.

Herleitung

Eine Last ${\displaystyle p}$ wirkt auf eine Membran, die vollständig biegsam ist. Die dadurch entstandene Krümmung wird von einer Membranzugkraft ${\displaystyle H}$ aufgenommen. Teilt man diese Membran in zwei senkrechte Streifen in ${\displaystyle x}$-Richtung und in ${\displaystyle y}$-Richtung, so lassen sich unter der Annahme, dass die Durchbiegung ${\displaystyle w}$ klein ist, folgende Beziehungen aufstellen:[1]

${\displaystyle H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}=-p_{x}}$

und

${\displaystyle H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}=-p_{y}}$.

Dabei sind ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial x^{2}}}}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial y^{2}}}}$ die zweiten Ableitungen in ${\displaystyle x}$- und ${\displaystyle y}$-Richtung. ${\displaystyle p_{x}}$ und ${\displaystyle p_{y}}$ sind die Anteile der Last ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle x}$- und ${\displaystyle y}$-Richtung.

Mit der Gleichgewichtsbedingung ${\displaystyle p=p_{x}+p_{y}}$ erhält man nun die Membrangleichung:

${\displaystyle \Delta w={\frac {p}{H}}}$,

wobei ${\displaystyle \Delta }$ der Laplaceoperator ist.

Als Randbedingung nimmt man ${\displaystyle w=0}$ an. Das heißt, der Rand ist gestützt und erfährt keine Durchbiegung.

Das Problem stellt d​amit eine Poissongleichung dar.

Anwendung

Eine Anwendung m​it der Membrananalogie d​er Torsion h​at Ludwig Prandtl 1903 veröffentlicht u​nd sie m​it der Saint-Venantsche Torsion verknüpft.[1][2]

Einzelnachweise

1. Fritz Stüssi: Entwurf und Berechnung von Stahlbauten. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1958, ISBN 978-3-662-11682-1, S. 206, doi:10.1007/978-3-662-11682-1.
2. Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen. Springer Verlag, Heidelberg, Berlin 1961, ISBN 978-3-662-11836-8, Zur Torsion von prismatischen Stäben, S. 79–80, doi:10.1007/978-3-662-11836-8_4.