Martins Axiom

Martins Axiom i​st in d​er Mengenlehre e​ine Aussage, d​ie in d​em üblichen Zermelo-Fraenkelschen System weder beweisbar n​och widerlegbar ist. Es w​urde 1970 v​on Donald A. Martin u​nd Robert M. Solovay eingeführt.

Schreibe für die Kardinalität des Kontinuums.

Sei eine Halbordnung. Eine Menge heißt hier dicht, wenn jede Menge der Form trifft. Sei eine Menge von dichten Teilmengen von . Gesucht ist ein Filter auf , der alle Elemente aus trifft, d. h. nichtleer schneidet; heißt dann -generischer Filter. Das Lemma von Rasiowa-Sikorski besagt, dass es für abzählbare immer möglich ist, einen solchen Filter zu finden. Für überabzählbare Mengen ist die Situation anders: Wenn

  • oder
  • überabzählbare Antiketten besitzt,

gibt es im Allgemeinen keine -generischen Filter.

Martins Axiom für eine unendliche Kardinalzahl , kurz , ist die Aussage,

für jede Halbordnung , die nur abzählbare Antiketten besitzt, und jede Menge dichter Teilmengen mit gibt es einen -generischen Filter .

Damit ist beweisbar wahr und exakt die Aussage des Lemmas von Rasiowa-Sikorski. Für ist beweisbar falsch. Gilt die Kontinuumshypothese (CH), ist die Aussage damit für jede unendliche Kardinalzahl entschieden. Folglich ist Martins Axiom für eine unendliche Kardinalzahl nur in Modellen interessant, in denen die Kontinuumshypothese scheitert.

Mit dem Begriff Martins Axiom ohne Angabe einer Kardinalzahl, kurz , wird die Aussage bezeichnet, dass

für alle überabzählbaren gilt.

Äquivalent ist die Formulierung „[…] für alle unendlichen “, da der Unterschied nur betrifft. Martins Axiom ohne die Formulierung für eine unendliche Kardinalzahl ist äquivalent dazu, dass es

für jede Halbordnung , die nur abzählbare Antiketten besitzt, und jede Menge dichter Teilmengen mit einen -generischen Filter gibt.

Vorausgesetzt ZFC i​st konsistent, lassen s​ich Modelle v​on ZFC + MA + ¬CH konstruieren, a​lso in d​enen zwar Martins Axiom gilt, d​ie Kontinuumshypothese a​ber nicht.

Anschaulich bedeutet Martins Axiom, dass die überabzählbaren Kardinalzahlen in einem gewissen Sinne klein gegenüber sind und sich ähnlich wie verhalten.

Literatur

  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0.
  • Martin, D. A.; Solovay, R. M. : Internal Cohen extensions, Ann. Math. Logic 2 (2) (1970): 143–178
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