Liste stochastischer Prozesse

Der Wert der folgenden Auflistung liegt in der Einordnung der Prozesse in die verschiedenen Kategorien von Prozessen. Außerdem soll eine umfangreiche Übersicht über die stochastischen Differentialgleichungen (SDGL) der verschiedenen Prozesse und falls möglich deren Lösungen entstehen. Die Details befinden sich in den Hauptartikeln der jeweiligen Prozesse.

Liste von stochastischen Prozessen.

Markow-Prozesse

Markow-Prozesse erfüllen die Markow-Eigenschaft. Zu den Markow-Prozessen zählen u. a. die Affinen Prozesse und die Itō-Prozesse.

Affine Prozesse

Zu den affinen Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse (also auch der Wiener-Prozess und der Poisson-Prozess), außerdem einige Itō-Prozesse wie z. B. der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und der Wurzel-Diffusionsprozess.

Lévy-Prozesse

Lévy-Prozesse sind Prozesse mit unabhängigen und stationären Zuwächsen. Zu den Lévy-Prozessen zählen u. a. die Poisson-Prozesse.

Gamma-Prozess

Der Gamma-Prozess ${\displaystyle \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$ ist ein reiner Sprung-Lévy-Prozess mit Intensitätsmaß ${\displaystyle \nu (x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x)}$

Variance gamma Prozess

${\displaystyle X(t;\theta ,\sigma ,\nu )=B(\Gamma (t;1,\nu ),\theta ,\sigma ),\qquad t\geq 0.}$

Poisson-Prozesse

Zusammengesetzter Poisson-Prozess

${\displaystyle X_{t}:=\sum _{n=1}^{N_{t}}Y_{n}}$

Inhomogener Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeitabhängig ${\displaystyle \lambda (t)}$

Räumlicher Poisson-Prozess

Die Intensität ist zeit- und (Vector-)raumabhängig ${\displaystyle \lambda (t,x)}$

Cox-Prozess

Die Intensität ist eine Zufallsvariable.

Itō-Prozesse

Itō-Prozess

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}u(s,X_{s})ds+\int _{0}^{t}v(s,X_{s})dW_{s}.}$

SDGL:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=u(t,X_{t})dt+v(t,X_{t})dW_{t}.}$

Verallgemeinerter Wiener-Prozess / Verallgemeinerte Brownsche Bewegung

Der verallgemeinerter Wiener-Prozess ist sowohl Gauß- als auch Itō-Prozess.

${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}f(s)\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}g(s)\mathrm {d} W_{s}}$

SDGL: ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=f(t)\mathrm {d} t+g(t)\mathrm {d} W_{t}}$

Einfache Form

${\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$

SDGL:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \mathrm {d} t+\sigma \mathrm {d} W_{t}}$

Standard Wiener-Prozess / Standard Brownsche Bewegung

${\displaystyle X_{t}=W_{t}=\int _{0}^{t}dW_{s}}$

SDGL:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mathrm {d} W_{t}}$

Weitere Itō-Prozesse

Geometrische brownsche Bewegung

${\displaystyle X_{t}=X_{0}e^{(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}})t+\sigma W_{t}}}$

SDGL:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\mathrm {d} W_{t}}$

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess

SDGL:

${\displaystyle dX_{t}=\theta (\mu -X_{t})dt+\sigma dW_{t},\;\;X_{0}=a}$

Wurzel-Diffusionsprozess / CIR-Prozess

SDGL:

${\displaystyle dX_{t}=\kappa (\theta -X_{t})dt+\sigma {\sqrt {X_{t}}}dW_{t}}$

Bessel-Prozess

${\displaystyle X_{t}=\|W_{t}\|_{2},}$

SDGL:

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mathrm {d} W_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{X_{t}}}}$

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Gauß-Prozesse

${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ ist ein Gauß-Prozess, falls gilt ${\displaystyle \forall t_{1},t_{2}\ldots t_{n}\in T}$ ist ${\displaystyle (X_{t_{1}},X_{t_{2}}\ldots X_{t_{n}})}$ durch eine n-dimensionale Normalverteilung gegeben ist.

Zu den Gauß-Prozessen zählen u. a. die Gauß-Itō Prozesse (z. B. der Wiener-Prozess), der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, die Brownsche Brücke, und die fraktionelle Brownsche Bewegung.

Fraktionelle Brownsche Bewegung

Gauß-Markow-Prozesse

Gauß-Markow-Prozesse besitzen sowohl die Markow-Eigenschaft, also auch die Eigenschaft von Gauß-Prozessen.

Brownsche Brücke

Die Brownsche Brücke ist ein Gauß-Markow-Prozess, d. h. ein Gauß-Prozess mit der Markow-Eigenschaft.

${\displaystyle B_{t}:=(W_{t}|W_{T}=0),\;t\in [0,T]}$

Feller-Prozesse

Ein Feller-Prozess ist ein Markow-Prozess mit der Feller-Übergangsfunktion die zu einer Feller-Halbgruppe gehört. Zu den Feller-Prozessen zählen u. a. die Lévy-Prozesse, der Bessel-Prozess, und die Lösungen von SDGL mit Lipschitz-stetigen Koeffizienten.