Lemma von Calderón-Zygmund

Das Lemma v​on Calderón-Zygmund i​st ein mathematisches Resultat a​us dem Bereich d​er Fourieranalyse beziehungsweise d​er harmonischen Analysis. Es w​urde nach d​en Mathematikern Alberto Calderón u​nd Antoni Zygmund benannt.

Das Lemma z​eigt eine Möglichkeit, e​ine integrierbare Funktion i​n ihre "kleinen" u​nd "großen" Anteile aufzuspalten u​nd die "großen" Anteile z​u kontrollieren. Diese Zerlegung i​st zum Beispiel essentiell für d​en Beweis d​er atomaren Zerlegung v​on reellen Hardy-Funktionen.

Lemma von Calderón-Zygmund

Sei ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ eine nicht-negative, integrierbare Funktion, und sei ${\displaystyle \alpha }$ eine positive Konstante. Dann existiert eine Zerlegung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit den folgenden Eigenschaften:

1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=F\cup \Omega }$ mit ${\displaystyle F\cap \Omega =\emptyset$ ;}
2. ${\displaystyle f(x)\leq \alpha }$ fast überall in ${\displaystyle F;}$
3. ${\displaystyle \Omega }$ ist die Vereinigung von Würfeln

${\displaystyle \Omega =\bigcup _{k}Q_{k},}$

wobei das Innere jedes Würfels disjunkt zum Inneren jedes anderen Würfels ist. Außerdem gilt für jeden Würfel ${\displaystyle Q_{k}}$ die Ungleichung

${\displaystyle \alpha <{\frac {1}{m(Q_{k})}}\int _{Q_{k}}f(x)\mathrm {d} \,m(x)\leq 2^{n}\alpha .}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle m(Q_{k})}$ ein Maß von ${\displaystyle Q_{k}}$.

Calderón-Zygmund-Zerlegung

Sei ${\displaystyle f\in L^{1}}$ eine integrierbare Funktion und ${\displaystyle \beta }$ eine positive Konstante mit

${\displaystyle \beta >{\frac {1}{m(\mathbb {R} ^{n})}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\mathrm {d} \,m(x).}$

Dann existiert eine Zerlegung ${\displaystyle f=g+b}$ mit ${\displaystyle \textstyle b=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ und eine Folge von Würfel (oder Bällen) ${\displaystyle (Q_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle |g(x)|\leq c\beta }$ für fast alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n};}$
• Jede Funktion ${\displaystyle b_{k}}$ hat ihren Träger in dem Würfel (Ball) ${\displaystyle Q_{k}}$, und es gilt

${\displaystyle \int _{Q_{k}}|b_{k}(x)|\mathrm {d} \,m(x)\leq c\beta m(B_{k})\ }$ und ${\displaystyle \int _{Q_{k}}b_{k}(x)\mathrm {d} \,m(x)=0.}$

• ${\displaystyle \sum _{k}m(Q_{k})\leq {\frac {c}{\beta }}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\mathrm {d} \,m(x)}$

Literatur

• Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5.
• Elias M. Stein: Singular Integrals And Differentiability Properties Of Functions. Princeton University Press 1970, ISBN 0-691-08079-8.