Legendre-Konstante

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798[1] von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl ${\displaystyle n}$ sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.

Die ersten 100.000 Glieder der Folge ${\displaystyle a_{n}=\ln(n)-{\frac {n}{\pi (n)}}}$ _ deuten eine Konvergenz gegen 1,08366 _ an.

Legendre vermutete a​uf Grund seiner Überlegungen z​ur Häufigkeit v​on Primzahlen, d​ass der folgende Grenzwert existiert:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\biggl (}\!\ln(n)-{\frac {n}{\pi (n)}}{\biggr )}=B,}$

dabei ist ${\displaystyle \ln(n)}$ der natürliche Logarithmus von ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \pi (n)}$ die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als ${\displaystyle n}$ sind, und ${\displaystyle B}$ die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst ${\displaystyle n}$=400.000, später ${\displaystyle n}$=1.000.000, auf etwa 1,08366 schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow bewies 1849,[2] dass dieser Grenzwert ${\displaystyle B}$ den Wert 1 hat, sofern er existiert. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.[3]

Es i​st eine direkte Folgerung d​es Primzahlsatzes, i​n folgender präziser Form v​on Charles d​e La Vallée Poussin,[4]

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{wenn }}x\to \infty }$

(für eine positive Konstante ${\displaystyle a}$, wo ${\displaystyle O(\dotso )}$ das Landau-Symbol ist), dass ${\displaystyle B}$ tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard[5] und Charles de La Vallée Poussin[6] (ohne Restabschätzung) bewiesen.

Literatur und Quellen

1. Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)
2. Edmund Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Third (corrected) edition, two volumes in one, Chelsea 1974, S. 17.
3. János Pintz: On Legendre’s prime number formula. In: American Mathematical MonthlyThe American Mathematical Monthly, Jg. 87 (1980), S. 733–735.
4. La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899
5. Sur la distribution des zéros de la fonction ${\displaystyle \zeta (s)}$ et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online (Memento des Originals vom 17. Juli 2012 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
6. « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, S. 183–256 und 281–361

Weblink

• Eric W. Weisstein: Legendre’s Constant. In: MathWorld (englisch).