Laser-Linienbreite

Die Laser-Linienbreite ist die spektrale Linienbreite eines Laser-Strahls. In diesem Artikel werden die neuesten Erkenntnisse zur Entstehung der spektralen Kohärenz und Linienbreite eines Lasers dargestellt.

Theorie

Historie: Erste Herleitung der Laser-Linienbreite

Die e​rste von Menschenhand erschaffene kohärente Lichtquelle w​ar ein „Maser“. Das Akronym MASER bedeutet „Microwave Amplification b​y Stimulated Emission o​f Radiation“ (auf deutsch: Mikrowellen-Verstärkung d​urch stimulierte Emission v​on Strahlung). Genauer gesagt w​ar es d​er Ammoniak-Maser, d​er auf e​iner Wellenlänge v​on 12,5 mm emittiert, welcher 1954 v​on Gordon, Zeiger u​nd Townes erstmals betrieben wurde.[1] Ein Jahr später leiteten dieselben Autoren[2] theoretisch d​ie Maser-Linienbreite her, i​ndem sie d​ie sinnvollen Näherungen machten, d​ass ihr Ammoniak-Maser

(i) i​m Dauerstrahl-Betrieb (englisch: „continuous-wave“, cw) arbeitet,[2]

(ii) e​in ideales Vier-Niveau-Energieschema besitzt,[2] und

(iii) k​eine intrinsischen Resonatorverluste erleidet, sondern lediglich Auskoppelverluste d​urch die Spiegel.[2]

Bemerkenswerterweise basiert d​iese Herleitung[2] a​uf rein semi-klassischen Annahmen. Sie beschreibt d​ie Ammoniak-Moleküle a​ls Quanten-Emitter, während klassische elektromagnetische Felder angenommen werden (dagegen k​eine quantisierten Felder o​der Quantenfluktuationen). Daraus resultiert d​ie halbe Halbwertsbreite (englisch: „half-width-at-half-maximum“, HWHM) d​er Maser-Emission[2]

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {M}}^{*}={\frac {4\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {M}}={\frac {2\pi k_{\rm {B}}T(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {aus}}}},}$

die hier mit einem Sternchen gekennzeichnet ist und auf die volle Halbwertsbreite (englisch: „full-width-at-half-maximum“, FWHM) ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {M}}=2\Delta \nu _{\rm {M}}^{*}}$ der Maser-Emission umgerechnet wird. ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ist die Boltzmann-Konstante, ${\displaystyle T}$ ist die Temperatur, ${\displaystyle P_{\rm {aus}}}$ ist die Ausgangsleistung des Lasers, und ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}^{*}}$ und ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}=2\Delta \nu _{\rm {c}}^{*}}$ sind die passiven HWHM- und FWHM-Linienbreiten des verwendeten Mikrowellen-Resonators.

Im Jahr 1958, zwei Jahre bevor Maiman den ersten Laser baute (welcher zunächst als „optischer Maser“ bezeichnet wurde),[3] transferierten Schawlow und Townes[4] die Maser-Linienbreite in den sichtbaren und nah-infraroten Spektralbereich, indem sie die thermische Energie ${\displaystyle k_{\rm {B}}T}$ durch die Photonenenergie ${\displaystyle h\nu _{\rm {L}}}$ ersetzten. ${\displaystyle h}$ ist Plancks Wirkungsquantum, und ${\displaystyle \nu _{\rm {L}}}$ ist die Frequenz des Laserlichts. Dieser Transfer beinhaltet die Näherung, dass

(iv) während der Resonatorabklingzeit ${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$ ein Photon durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt wird,[5]

und führt z​ur Schawlow-Townes-Linienbreite:[4]

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L,ST}}^{*}={\frac {4\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}}^{*})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}\Leftrightarrow \Delta \nu _{\rm {L,ST}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}.}$

Auch d​er Transfer v​om Mikrowellen- z​um optischen Spektralbereich beruht a​uf einer r​ein semi-klassischen Grundlage,[4] o​hne die Annahme v​on quantisierten Feldern o​der Quanten-Fluktuationen. Daher basiert d​ie ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung komplett a​uf semi-klassischen physikalischen Annahmen[2][4] u​nd ist e​ine vierfache Näherung e​iner allgemeineren Laser-Linienbreite,[5] d​ie im Folgenden hergeleitet wird.

Passive Resonator-Mode: Resonatorabklingzeit

Betrachtet wird ein aus zwei Spiegeln bestehender Fabry-Pérot-Resonator[6] der geometrischen Länge ${\displaystyle \ell }$, der homogen ausgefüllt ist mit einem aktiven Laser-Medium, das einen Brechungsindex ${\displaystyle n}$ hat. Wir definieren als Referenz-Situation die passive Resonator-Mode, deren aktives Laser-Medium transparent ist, d. h., es bewirkt weder Verstärkung noch Absorption von Licht.

Licht bewegt sich im Resonator mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle c=c_{0}/n}$ fort, wobei ${\displaystyle c_{0}}$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Somit sind die Resonator-Umlaufzeit ${\displaystyle t_{\rm {RT}}}$ und der freie Spektralbereich ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {FSR}}}$ gegeben durch[6][5]

${\displaystyle t_{\rm {RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\rm {FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}.}$

Licht i​n der u​ns interessierenden longitudinalen Resonator-Mode oszilliert a​uf der q-ten Resonanzfrequenz[6][5]

${\displaystyle \nu _{L}={\frac {q}{t_{\rm {RT}}}}=q\Delta \nu _{\rm {FSR}}.}$

Die exponentielle Auskopplungszeit ${\displaystyle \tau _{\rm {aus}}}$ und die entsprechende Ratenkonstante ${\displaystyle 1/\tau _{\rm {aus}}}$ ergeben sich aufgrund der Spiegelreflektionen ${\displaystyle R_{i}}$ der beiden Resonator-Spiegel ${\displaystyle i=1,2}$ zu[6][5]

${\displaystyle R_{1}R_{2}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {aus}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Die exponentielle intrinsische Verlustzeit ${\displaystyle \tau _{\rm {verl}}}$ und die entsprechende Ratenkonstante ${\displaystyle 1/\tau _{\rm {verl}}}$ ergeben sich aufgrund der intrinsischen Resonatorverluste ${\displaystyle L_{\rm {RT}}}$ pro Resonator-Umlauf zu[5]

${\displaystyle 1-L_{\rm {RT}}=e^{-t_{\rm {RT}}/\tau _{\rm {verl}}}\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {verl}}}}={\frac {-\ln {(1-L_{\rm {RT}})}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Die resultierende exponentielle Resonatorabklingzeit ${\displaystyle \tau _{c}}$ und die entsprechende Ratenkonstante ${\displaystyle 1/\tau _{\rm {c}}}$ betragen somit[5]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {verl}}}}={\frac {-\ln {[R_{1}R_{2}(1-L_{\rm {RT}})]}}{t_{\rm {RT}}}}.}$

Alle drei exponentiellen Zerfallszeiten mitteln über die Resonator-Umlaufzeit ${\displaystyle t_{\rm {RT}}.}$[5] Im Folgenden nehmen wir an, dass ${\displaystyle \ell }$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{2}}$ und ${\displaystyle L_{\rm {RT}}}$ und daher auch ${\displaystyle \tau _{\rm {aus}}}$, ${\displaystyle \tau _{\rm {verl}}}$ und ${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$ sich innerhalb des Spektralbereichs, der für die Laser-Linienbreite von Interesse ist, nicht wesentlich ändern.

Passive Resonator-Mode: Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Neben der Resonatorabklingzeit ${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$ kann man die spektralen Kohärenz-Eigenschaften der passiven Resonator-Mode äquivalent durch folgende Parameter ausdrücken. Die FWHM-Lorentz-Linienbreite ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}}$ der passiven Resonator-Mode, die in der Schawlow-Townes-Gleichung auftritt, erhält man durch Fourier-Transformation der exponentiellen Resonatorabklingzeit ${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$ in den Frequenzraum,[6][5]

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {c}}}}.}$

Der Qualitätsfaktor (Q-Faktor) ${\displaystyle Q_{\rm {c}}}$ ist definiert als die Energie ${\displaystyle W_{\rm {speich}}}$, die im Resonator gespeichert ist, geteilt durch die Energie ${\displaystyle W_{\rm {lost}}}$, die pro Oszillationszyklus des Lichts verloren geht,[5]

${\displaystyle Q_{\rm {c}}=2\pi {\frac {W_{\rm {speich}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {c}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {c}}}},}$

wobei ${\displaystyle \varphi =W_{\rm {speich}}/h\nu _{L}}$ die Zahl der Photonen in der Resonator-Mode ist. Die Kohärenzzeit ${\displaystyle \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}}$ und die Kohärenzlänge ${\displaystyle \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}}$ des Lichts, das aus der Resonator-Mode emittiert wird, sind gegeben durch die Gleichung[5]

${\displaystyle \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {c}}.}$

Aktive Resonator-Mode: Verstärkung, Resonatorabklingzeit, Lorentz-Linienbreite, Q-Faktor, Kohärenzzeit und -länge

Unter Berücksichtigung der Besetzungsdichten ${\displaystyle N_{2}}$ und ${\displaystyle N_{1}}$ des oberen und unteren Laser-Niveaus und der effektiven Wirkungsquerschnitte ${\displaystyle \sigma _{\rm {e}}}$ und ${\displaystyle \sigma _{\rm {a}}}$ der stimulierten Emission und der Absorption auf der Resonanz-Frequenz ${\displaystyle \nu _{L}}$ ergibt sich die Verstärkung pro Längeneinheit im aktiven Laser-Medium auf der Resonanz-Frequenz ${\displaystyle \nu _{L}}$ zu[5]

${\displaystyle g=\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1}.}$

Ein Wert ${\displaystyle g>0}$ bedeutet Verstärkung auf der Resonanz-Frequenz ${\displaystyle \nu _{L}}$, während ein Wert ${\displaystyle g<0}$ Absorption bedeutet. Dies resultiert in einer entsprechend verlängerten oder verkürzten Resonatorabklingzeit ${\displaystyle \tau _{\rm {L}}}$, mit der die Photonen sich aus der aktiven Resonator-Mode entfernen:[5]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {L}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}-cg.}$

Die anderen v​ier Eigenschaften d​er spektralen Kohärenz d​er aktiven Resonator-Mode erhält m​an in derselben Weise w​ie für d​ie passive Resonator-Mode. Die Lorentz-Linienbreite ergibt s​ich durch Fourier-Transformation i​n den Frequenzraum,[5]

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{2\pi \tau _{\rm {L}}}}.}$

Ein Wert ${\displaystyle g>0}$ führt zu Verstärkungsreduzierung der Linienbreite, während ein Wert ${\displaystyle g<0}$ zu Absorptionsverbreiterung führt. Der Q-Faktor beträgt[5]

${\displaystyle Q_{\rm {L}}=2\pi {\frac {W_{\rm {speich}}(t)}{W_{\rm {lost}}(t)}}=2\pi {\frac {\varphi (t)}{-{\frac {1}{\nu _{L}}}{\frac {d}{dt}}\varphi (t)}}=2\pi \nu _{L}\tau _{\rm {L}}={\frac {\nu _{L}}{\Delta \nu _{\rm {L}}}}.}$

Die Kohärenzzeit u​nd -länge betragen[5]

${\displaystyle \tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}={\frac {1}{c}}\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=2\tau _{\rm {L}}.}$

Spektraler Kohärenzfaktor

Der Faktor, um den die Resonatorabklingzeit durch Verstärkung verlängert oder durch Absorption verkürzt wird, wird hier als sogenannter spektraler Kohärenzfaktor ${\displaystyle \Lambda }$ eingeführt:[5]

${\displaystyle \Lambda$ :={\frac {1}{1-cg\tau _{\rm {c}}}}.}

Alle fünf oben eingeführten Parameter, die gleichbedeutend die spektrale Kohärenz beschreiben, skalieren mit demselben spektralen Kohärenzfaktor ${\displaystyle \Lambda }$:[5]

${\displaystyle \tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}},(\Delta \nu _{\rm {L}})^{-1}=\Lambda (\Delta \nu _{\rm {c}})^{-1},Q_{\rm {L}}=\Lambda Q_{\rm {c}},\tau _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}^{\rm {coh}},\ell _{\rm {L}}^{\rm {coh}}=\Lambda \ell _{\rm {c}}^{\rm {coh}}.}$

Lasende Resonator-Mode: Fundamentale Laser-Linienbreite

Für eine gegebene Zahl ${\displaystyle \varphi }$ an Photonen, die sich in der lasenden Resonator-Mode befinden, lauten die stimulierte Emissionsrate und Resonator-Abklingrate:[5]

${\displaystyle R_{\rm {stim}}=cg\varphi ,}$

${\displaystyle R_{\rm {abkling}}={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .}$

Der spektrale Kohärenzfaktor beträgt somit[5]

${\displaystyle \Lambda ={\frac {R_{\rm {abkling}}}{R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}}.}$

Die Resonatorabklingzeit d​er lasenden Resonator-Mode beträgt[5]

${\displaystyle \tau _{\rm {L}}=\Lambda \tau _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}}{R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}}\tau _{\rm {c}}.}$

Die fundamentale Laser-Linienbreite beträgt[5]

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.}$

Diese fundamentale Linienbreite g​ilt für Laser m​it beliebigem Energie-Niveau-Schema (Vier- o​der Drei-Niveau-Schema o​der irgendeine Situation zwischen diesen beiden Extremen), i​m Betrieb unterhalb, an, u​nd oberhalb d​er Laser-Schwelle, e​iner Verstärkung, d​ie kleiner, gleich, o​der größer a​ls die Verluste ist, u​nd in e​inem CW- o​der transienten Laser-Regime.[5]

Aus dieser Herleitung w​ird deutlich, d​ass die fundamentale Linienbreite e​ines CW-Lasers a​uf dem semi-klassischen Effekt beruht, d​ass die Verstärkung d​ie Resonatorabklingzeit verlängert.[5]

Dauerstrahl-Laser: Die Verstärkung ist kleiner als die Verluste

Die spontane Emissionsrate i​n die lasende Resonator-Mode hinein i​st gegeben durch[5]

${\displaystyle R_{\rm {spon}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}.}$

Es ist zu beachten, dass ${\displaystyle R_{\rm {spon}}}$ grundsätzlich eine positive Rate ist, weil bei jedem einzelnen Emissionsprozess eine atomare Anregung in ein Photon in der Laser-Mode umgewandelt wird.[7][5] Diese Rate ist der Quellterm der Laserstrahlung und darf keinesfalls als „Rauschen“ missinterpretiert werden.[5] Die Photonen-Ratengleichung für eine einzelne Laser-Mode ergibt sich als[5]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi =R_{\rm {spon}}+R_{\rm {stim}}-R_{\rm {abkling}}=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}+cg\varphi -{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi .}$

Ein CW-Laser zeichnet sich durch eine zeitlich konstante Photonenzahl in der Laser-Mode aus. Daher ist ${\displaystyle d\varphi /dt=0}$. In einem CW-Laser kompensieren die stimulierte und spontane Emissionsrate gemeinsam die Resonator-Abklingrate. Daher ist[5]

${\displaystyle R_{\rm {stim}}-R_{\rm {abkling}}=-R_{\rm {spon}}<0.}$

Die stimulierte Emissionsrate i​st kleiner a​ls die Resonator-Abklingrate. Anders ausgedrückt: Die Verstärkung i​st kleiner a​ls die Verluste.[5] Diese Tatsache i​st seit Jahrzehnten bekannt u​nd wurde d​azu ausgenutzt, d​as Verhalten v​on Halbleiter-Lasern a​n der Laser-Schwelle quantitativ z​u beschreiben.[8][9][10][11] Selbst w​eit oberhalb d​er Laser-Schwelle i​st die Verstärkung i​mmer noch minimal kleiner a​ls die Verluste. Es i​st genau dieser extrem kleine Unterschied, d​er die endliche Lininebreite e​ines CW-Lasers hervorruft.[5]

Aus dieser Herleitung w​ird klar, d​ass ein Laser grundlegend e​in Verstärker spontaner Emission i​st und d​ie CW-Laser-Linienbreite d​urch den semi-klassischen Effekt hervorgerufen wird, d​ass die Verstärkung kleiner i​st als d​ie Verluste.[5] Auch i​n quantenoptischen Beschreibungen d​er Laser-Linienbreite,[12] d​ie auf d​er Dichteoperator-Hauptgleichung beruhen, k​ann gezeigt werden, d​ass die Verstärkung kleiner i​st als d​ie Verluste.[5]

Schawlow-Townes-Näherung

Siehe auch: Schawlow-Townes-Limit

Wie oben bereits erwähnt, wird aus ihrer historischen Herleitung klar, dass die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung eine vierfache Näherung der fundamentalen Laser-Linienbreite ist. Ausgehend von der fundamentalen Laser-Linienbreite ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}}$, die oben hergeleitet wurde, erhält man durch explizite Anwendung der vier Näherungen (i)-(iv) genau die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung:

(i) Es i​st ein reiner CW-Laser. Entsprechend gilt[5]

${\displaystyle R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}=R_{\rm {spon}}\Rightarrow }$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {spon}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.}$

(ii) Es i​st ein idealer Vier-Niveau-Laser. Entsprechend gilt[5]

${\displaystyle N_{1}=0\Rightarrow cg=c(\sigma _{\rm {e}}N_{2}-\sigma _{\rm {a}}N_{1})=c\sigma _{\rm {e}}N_{2}=R_{\rm {spon}}\Rightarrow }$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {R_{\rm {spon}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}.}$

(iii) Intrinsische Resonator-Verluste s​ind vernachlässigbar. Entsprechend gilt[5]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\rm {verl}}}}=0\Rightarrow {\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}={\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}\Rightarrow P_{\rm {aus}}=h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {aus}}}}\varphi =h\nu _{\rm {L}}{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi \Rightarrow }$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cg}{{\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}\varphi }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {aus}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}.}$

(iv) Genau ein Photon wird während der Resonatorabklingzeit ${\displaystyle \tau _{\rm {c}}}$ durch spontane Emission in die Laser-Mode eingekoppelt. Geschehen würde dies in einem idealen Vier-Niveau-CW-Laser genau an dem unerreichbaren Punkt, an dem der spektrale Kohärenz-Faktor ${\displaystyle \Lambda }$, die Photonenzahl ${\displaystyle \varphi }$ in der Resonator-Mode und die Ausgangsleistung ${\displaystyle P_{\rm {aus}}}$ unendlich groß werden, also an dem Punkt, an dem die Verstärkung gleich den Verlusten würde. Entsprechend gilt[5]

${\displaystyle R_{\rm {stim}}=R_{\rm {abkling}}\Rightarrow R_{\rm {spon}}=cg={\frac {1}{\tau _{\rm {c}}}}=2\pi \Delta \nu _{\rm {c}}\Rightarrow }$

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {cgh\nu _{\rm {L}}}{P_{\rm {aus}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {2\pi h\nu _{\rm {L}}(\Delta \nu _{\rm {c}})^{2}}{P_{\rm {aus}}}}=\Delta \nu _{\rm {L,ST}}.}$

Das heißt, wenn man dieselben vier Näherungen (i)-(iv), die bereits in der ersten Herleitung benutzt wurden,[2][4] auf die fundamentale Laser-Linienbreite ${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}}$ anwendet, erhält man konsequenterweise die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung.[5]

Zusammenfassend lautet d​ie fundamentale Laser-Linienbreite[5]

${\displaystyle \Delta \nu _{\rm {L}}={\frac {1}{\Lambda }}\Delta \nu _{\rm {c}}={\frac {R_{\rm {abkling}}-R_{\rm {stim}}}{R_{\rm {abkling}}}}\Delta \nu _{\rm {c}}=(1-cg\tau _{\rm {c}})\Delta \nu _{\rm {c}}=\Delta \nu _{\rm {c}}-{\frac {cg}{2\pi }},}$

während d​ie ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung e​ine vierfache Näherung dieser fundamentalen Laser-Linienbreite u​nd daher hauptsächlich v​on historischer Bedeutung ist.

Zusätzliche Mechanismen der Linienverbreiterung und -verengung

Nach i​hrer Veröffentlichung i​m Jahr 1958 w​urde die ursprüngliche Schawlow-Townes-Gleichung[4] a​uf verschiedene Weisen erweitert. Diese erweiterten Gleichungen werden oftmals m​it demselben Namen bezeichnet, nämlich d​er Schawlow-Townes-Linienbreite. Dadurch i​st in d​er publizierten Literatur z​ur Laser-Linienbreite durchaus Konfusion entstanden, d​a oft unklar ist, welche Erweiterung d​er ursprünglichen Schawlow-Townes-Gleichung d​ie jeweiligen Autoren betrachten o​der benutzen.

Einige semi-klassische Erweiterungen hatten z​um Ziel, e​ine oder mehrere d​er oben genannten Näherungen (i)-(iv) z​u eliminieren, wodurch d​iese erweiterten Gleichungen d​er oben hergeleiteten fundamentalen Laser-Linienbreite i​n ihrem physikalischen Gehalt ähnlicher wurden.

Folgende mögliche Erweiterungen d​er fundamentalen Laser-Linienbreite wurden vorgeschlagen:

1. Hempstead und Lax,[13] sowie unabhängig Hermann Haken,[14] sagten quantenmechanisch vorher, dass nahe der Laser-Schwelle eine zusätzliche Reduzierung der Laser-Linienbreite um einen Faktor zwei auftritt. Allerdings wurde eine solche Reduzierung nur in ganz wenigen Fällen experimentell beobachtet.
2. Petermann erklärte semi-klassisch eine zuvor experimentell beobachtete Linienverbreiterung in durch optische Verstärkung anstatt durch einen Brechungsindex-Unterschied wellenleitenden Halbleiter-Lasern.[15] Siegman zeigte später, dass dieser Effekt durch die Nicht-Orthogonalität transversaler Moden hervorgerufen wird.[16][17] Woerdman und Mitarbeiter erweiterten diese Idee auf longitudinale Moden[18] und Polarizationsmoden.[19] Daher wird manchmal der sogenannte „Petermann-K-Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.
3. Henry sagte quantenmechanisch eine zusätzliche Linienverbreiterung vorher, die dadurch auftritt, dass Variationen des Brechungsindex aufgrund von Elektron-Loch-Paar-Anregungen in Halbleiter-Lasern (aber natürlich auch in allen anderen Anregungsprozessen) Phasenvariationen im Resonator-Umlauf bewirken.[20] Daher wird manchmal der sogenannte „Henry-${\displaystyle \alpha }$-Faktor“ der Gleichung für die Laser-Linienbreite hinzugefügt.

Messung der Laser-Linienbreite

Eine d​er ersten Methoden z​ur Messung d​er spektralen Kohärenz e​ines Lasers w​ar die Interferometrie.[21] Eine typische Methode z​ur Messung d​er Laser-Linienbreite i​st selbst-heterodyne Interferometrie.[22][23]

Dauerstrich-Laser

Seltenerd-dotierte dielektrische o​der Halbleiter-basierte Laser m​it verteilter Rückkopplung d​urch integrierte Bragg-Spiegel h​aben typische Linienbreiten i​n der Größenordnung v​on 1 kHz.[24][25] Die Laser-Linienbreite stabilisierter CW-Laser k​ann weit weniger a​ls 1 kHz betragen.[26] Beobachtete Linienbreiten s​ind größer a​ls die fundamentale Laser-Linienbreite, d​a technische Einflüsse auftreten (z. B. zeitliche Fluktuationen d​er optischen o​der elektrischen Pumpleistung, mechanische Vibrationen, Brechungsindex- u​nd Längenänderungen aufgrund v​on Temperaturschwankungen usw.).

Einzelnachweise

1. J. P. Gordon, H. J. Zeiger, C. H. Townes: Molecular microwave oscillator and new hyperfine structure in the microwave spectrum of NH3. In: Physical Review. 95, Nr. 1, 1954, S. 282–284. doi:10.1103/PhysRev.95.282.
2. J. P. Gordon, H. J. Zeiger, C. H. Townes: The maser−New type of microwave amplifier, frequency standard, and spectrometer. In: Physical Review. 99, Nr. 4, 1955, S. 1264–1274. doi:10.1103/PhysRev.99.1264.
3. T. H. Maiman: Stimulated optical radiation in Ruby. In: Nature. 187, Nr. 4736, 1960, S. 493–494. doi:10.1038/187493a0.
4. A. L. Schawlow, C. H. Townes: Infrared and optical masers. In: Physical Review. 112, Nr. 6, 1958, S. 1940–1949. doi:10.1103/PhysRev.112.1940.
5. M. Pollnau, M. Eichhorn: Spectral coherence, Part I: Passive resonator linewidth, fundamental laser linewidth, and Schawlow-Townes approximation. In: Progress in Quantum Electronics. In press, Nr. Journal Pre-proof, 2020, S. 100255. doi:10.1016/j.pquantelec.2020.100255.
6. N. Ismail, C. C. Kores, D. Geskus, M. Pollnau: Fabry-Pérot resonator: spectral line shapes, generic and related Airy distributions, linewidths, finesses, and performance at low or frequency-dependent reflectivity. In: Optics Express. 24, Nr. 15, 2016, S. 16366–16389. bibcode:2016OExpr..2416366I. doi:10.1364/OE.24.016366. PMID 27464090.
7. M. Pollnau: Phase aspect in photon emission and absorption. In: Optica. 5, Nr. 4, 2018, S. 465–474. doi:10.1364/OPTICA.5.000465.
8. H. S. Sommers: Spontaneous power and the coherent state of injection lasers. In: Journal of Applied Physics. 45, Nr. 4, 1974, S. 1787–1793. doi:10.1063/1.1663491.
9. H. S. Sommers: Threshold and oscillation of injection lasers: a critical review of laser theory. In: Solid-State Electronics. 25, Nr. 1, 1982, S. 25–44. doi:10.1016/0038-1101(82)90091-0.
10. Siegman, A. E. (1986) Lasers, University Science Books, Mill Valley, California, ch. 13, pp. 510–524.
11. G. Björk, Y. Yamamoto: Analysis of semiconductor microcavity lasers using rate equations. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. 27, Nr. 11, 1991, S. 2386–2396. doi:10.1109/3.100877.
12. Sargent III, M.; Scully, M. O.; Lamb, Jr., W. E. (1993) „Laser Physics“, 6th edition, Westview Press, Ch. 17.
13. R. D. Hempstead, M. Lax: Classical noise. VI. Noise in self-sustained oscillators near threshold. In: Physical Review. 161, Nr. 2, 1967, S. 350–366. doi:10.1103/PhysRev.161.350.
14. Haken, H. (1970) „Laser Theory“, Vol. XXV/2c of Encyclopedia of Physics, Springer.
15. K. Petermann: Calculated spontaneous emission factor for double-heterostructure injection lasers with gain-induced waveguiding. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. QE-15, Nr. 7, 1979, S. 566–570. doi:10.1109/JQE.1979.1070064.
16. A. E. Siegman: Excess spontaneous emission in non-Hermitian optical systems. I. Laser amplifiers. In: Physical Review A. 39, Nr. 3, 1989, S. 1253–1263. doi:10.1103/PhysRevA.39.1253. PMID 9901361.
17. A. E. Siegman: Excess spontaneous emission in non-Hermitian optical systems. II. Laser oscillators. In: Physical Review A. 39, Nr. 3, 1989, S. 1264–1268. doi:10.1103/PhysRevA.39.1264. PMID 9901362.
18. W. A. Hamel, J. P. Woerdman: Nonorthogonality of the longitudinal eigenmodes of a laser. In: Physical Review A. 40, Nr. 5, 1989, S. 2785–2787. doi:10.1103/PhysRevA.40.2785. PMID 9902474.
19. A. M. van der Lee, N. J. van Druten, A. L. Mieremet, M. A. van Eijkelenborg, Å. M. Lindberg, M. P. van Exter, J. P. Woerdman: Excess quantum noise due to nonorthogonal polarization modes. In: Physical Review Letters. 79, Nr. 5, 1989, S. 4357–4360. doi:10.1103/PhysRevA.40.2785. PMID 9902474.
20. C. H. Henry: Theory of the linewidth of semiconductor lasers. In: IEEE Journal of Quantum Electronics. 18, Nr. 2, 1982, S. 259–264. doi:10.1109/JQE.1982.1071522.
21. O. S. Heavens, Optical Masers (Wiley, New York, 1963).
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