L-Unverfälschtheit

Die L-Unverfälschtheit i​st in d​er Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik, e​ine Eigenschaft e​ines Punktschätzers. Sie verallgemeinert d​ie Erwartungstreue u​nd enthält a​ls weiteren Spezialfall d​ie Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über d​ie Verwendung e​iner allgemeinen Verlustfunktion statt.

Definition

Gegeben seien ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ sowie eine Verlustfunktion ${\displaystyle L(\cdot$ ;\cdot )} . Es sei

${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)=\int _{X}L(g(\vartheta );S)\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}$

das Risiko des Punktschätzers ${\displaystyle S}$ an der Stelle ${\displaystyle \vartheta }$, gemessen bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$

Dann heißt ein Schätzer ${\displaystyle S}$ L-unverfälscht, wenn für alle ${\displaystyle \vartheta _{0}\in \Theta }$ gilt:

${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta _{0},S)\leq R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)}$   für alle   ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$.

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}$, näher an dem Wert ${\displaystyle g(\vartheta _{0})}$ als an jedem weiteren Wert ${\displaystyle g(\vartheta )}$.

Beispiele

Gauß-Verlust

Wählt m​an als Verlustfunktion d​en Gauß-Verlust

${\displaystyle L(\vartheta ;a)=(g(\vartheta )-a)^{2}}$,

so ist ${\displaystyle S\in L^{2}((P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ (siehe L^p-Raum) genau dann L-unverfälscht, wenn ${\displaystyle S}$ ein erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}$ ist.

Laplace-Verlust und Median-Unverfälschtheit

Wählt m​an als Verlustfunktion d​en Laplace-Verlust

${\displaystyle L(\vartheta ;a)=|g(\vartheta )-a|}$,

so ist ${\displaystyle S}$ genau dann L-unverfälscht, wenn ${\displaystyle S}$ Median-unverfälscht ist, das heißt, es gilt für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$

${\displaystyle P_{\vartheta }(S\geq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}}$   und   ${\displaystyle P_{\vartheta }(S\leq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}}$.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.