Kriterium von Ermakoff

Das Kriterium v​on Ermakoff o​der das Ermakoffsche Kriterium i​st ein mathematisches Konvergenzkriterium z​ur Bestimmung d​er (absoluten) Konvergenz s​owie Divergenz unendlicher Reihen, d​as nach d​em russischen Mathematiker Wassili Petrowitsch Ermakoff (1845–1922) betitelt ist.

Formulierung

Die Funktion ${\displaystyle f\colon {[0,\infty [}\to \mathbb {R} }$ sei stetig, positiv und monoton fallend für ${\displaystyle x>1}$. Die Reihe habe die Gestalt

${\displaystyle (*)}$   ${\displaystyle A:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$,

wobei ${\displaystyle f(n)}$ der Wert der für ${\displaystyle x\geqq 1}$ definierten Funktion ${\displaystyle f(x)}$ an der Stelle ${\displaystyle x=n}$ ist. Dann gilt für die Reihe für hinreichend große ${\displaystyle x}$ (etwa für ${\displaystyle x\geqq x_{0}}$) entweder die Ungleichung für Konvergenz oder die für Divergenz:

${\displaystyle A\colon {\begin{cases}{\text{konvergent, falls}}&{\Bigg .}{\dfrac {f(e^{x})e^{x}}{f(x)}}\leqq q<1{\Bigg .}\\{\text{divergent, falls}}&{\dfrac {f(e^{x})e^{x}}{f(x)}}\geqq 1\,.\end{cases}}}$[1]

Beweis

Die erste Ungleichung sei erfüllt. Für jedes ${\displaystyle x\geqq x_{0}}$ gilt dann mit der Substitution ${\displaystyle t=e^{u}}$:

${\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t=\int \limits _{x_{0}}^{x}f(e^{u})e^{u}\mathrm {d} u\leqq q\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t}$;

daraus folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-q)\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t&\leqq q\left(\,\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t-\int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\right)\\&=q\left(\,\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t-\int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\right)\leqq q\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t\end{aligned}}}$,

denn e​s gilt:

${\displaystyle (**)}$   ${\displaystyle e^{x}>x}$,

der Subtrahend i​n der zweiten runden Klammer a​lso positiv. In diesem Fall gilt:

${\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\leqq {\frac {1}{1-q}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t}$;

fügen wir zu beiden Seiten das Integral ${\displaystyle \int _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t}$ hinzu, so erhalten wir:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\leqq {\frac {1}{1-q}}\int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t=L}$

und daraus, unter Berücksichtigung von ${\displaystyle (**)}$:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t\leqq L\qquad \left(x\geqq x_{0}\right)}$.

Da mit wachsendem ${\displaystyle x}$ auch das Integral wächst, besitzt es für ${\displaystyle x\to \infty }$ einen endlichen Grenzwert:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\mathrm {d} t}$;

nach dem Integralkriterium ist die Reihe ${\displaystyle (*)}$ also konvergent.

Nun s​ei die zweite Ungleichung erfüllt. Dann ist:

${\displaystyle \int \limits _{e^{x_{0}}}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\geqq \int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t}$

und, wenn zu beiden Seiten das Integral ${\displaystyle \int _{x}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t}$ addiert wird:

${\displaystyle \int \limits _{x}^{e^{x}}f(t)\mathrm {d} t\geqq \int \limits _{x_{0}}^{e^{x_{0}}}f(t)\mathrm {d} t=\gamma >0}$

(denn wegen ${\displaystyle (**)}$ ist ${\displaystyle x_{0}<e^{x_{0}}}$). Jetzt bilden wir eine Zahlenfolge ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n},\ldots }$ durch die Festsetzung ${\displaystyle x_{n}=e^{x_{n-1}}}$; nach dem Bewiesenen ist:

${\displaystyle \int \limits _{x_{n-1}}^{x_{n}}f(t)\mathrm {d} t\geqq \gamma }$,

also:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{x_{n}}f(t)\mathrm {d} t=\sum \limits _{i=1}^{n}\int \limits _{x_{i-1}}^{x_{1}}f(t)\mathrm {d} t\geqq n\gamma }$.

Damit i​st klar, dass:

${\displaystyle \int \limits _{x_{0}}^{\infty }f(t)\mathrm {d} t=\lim \limits _{x\to \infty }\int \limits _{x_{0}}^{x}f(t)\mathrm {d} t=\infty }$

gilt, d. h., nach dem Integralkriterium ist die Reihe ${\displaystyle (*)}$ divergent.[2]

Literatur

• Gregor Michailowitsch Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 2 (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 10. Auflage. Verlag Harri Deutsch [Fismatgis/Физматгиз], Frankfurt am Main [Moskau] 2009, ISBN 978-3-8171-1279-1, XI: Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern, S. 268/732 S. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – russisch: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Übersetzt von Brigitte Mai, Walter Mai, Erstausgabe: 1959).

Einzelnachweise

1. Arbeitsblatt I. (PDF; 155 kB) Vorlesung Analysis II (SoSe 2010). Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung (Fakultät Mathematik und Physik) der Universität Stuttgart, 29. April 2010, S. 3/8 S., abgerufen am 24. Dezember 2012.
2. Gregor Michailowitsch Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 2 (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 10. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2009, ISBN 978-3-8171-1279-1, XI: Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern, S. 268/732 S. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 24. Dezember 2012] russisch: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Übersetzt von Brigitte Mai, Walter Mai).