Kraus-Darstellung

Die Kraus-Darstellung, benannt n​ach dem Physiker Karl Kraus, i​st eine Darstellungsform v​on Quantenkanälen, d​ie die Dynamik e​ines Quantensystems beschreiben. Durch d​en Satz v​on Kraus, d​er besagt, d​ass eine Abbildung g​enau dann komplett positiv u​nd spurerhaltend ist, w​enn sie s​ich in Kraus-Darstellung schreiben lässt, i​st die Kraus-Darstellung v​on besonderer Bedeutung i​n der Theorie offener Quantensysteme u​nd der Quanteninformatik.

Definition

Seien ${\displaystyle {\mathcal {H}},{\mathcal {G}}}$ Hilberträume und sei ${\displaystyle \Lambda \colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {G}}}$ eine Abbildung zwischen diesen Hilberträumen. Die Kraus-Darstellung der Abbildung ${\displaystyle \Lambda }$ ist dann gegeben durch[1]

${\displaystyle \Lambda [\rho ]=\sum _{\alpha }K_{\alpha }\rho K_{\alpha }^{\dagger },}$

wobei ${\displaystyle \{K_{\alpha }\}}$ die Kraus-Operatoren sind. Ist ${\displaystyle \Lambda }$ spurerhaltend, erfüllen die Kraus-Operatoren die Vollständigkeitsrelation: ${\displaystyle \textstyle \sum _{\alpha }K_{\alpha }^{\dagger }K_{\alpha }=1}$. Dabei ist ${\displaystyle 1}$ der Identitätsoperator.

Motivation

Im Allgemeinen wird ein quantenmechanischer Zustand über den Dichteoperator ${\displaystyle \rho }$ dargestellt. Dieser hat folgende Eigenschaften:

• Hermitesch: ${\displaystyle \rho ^{\dagger }=\rho }$
• Normiert: ${\displaystyle {\rm {{Spur}\{\rho \}=1}}}$
• Positiv-semidefinit: ${\displaystyle \rho \geq 0}$, bzw. ${\displaystyle \langle \psi \left|\rho \right|\psi \rangle \geq 0\quad \forall \left|\psi \right\rangle \in {\mathcal {H}}}$

Überführt eine Abbildung ${\displaystyle \Lambda \colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {G}}}$ einen Dichteoperator ${\displaystyle \rho \in {\mathcal {H}}}$ in einen anderen Dichteoperator ${\displaystyle \Lambda [\rho ]\in {\mathcal {G}}}$, so muss für ${\displaystyle \Lambda }$ Folgendes gelten:

• Erhaltung der Hermitizität: ${\displaystyle \rho ^{\dagger }=\rho \Rightarrow \Lambda [\rho ]^{\dagger }=\Lambda [\rho ],}$
• Spurerhaltung: ${\displaystyle {\rm {{Spur}\{\Lambda [\rho ]\}={\rm {{Spur}\{\rho \},}}}}}$
• Positivitätserhaltung: ${\displaystyle \rho \geq 0\Rightarrow \Lambda [\rho ]\geq 0.}$

Spurerhaltung

Jede Abbildung i​n Kraus-Darstellung i​st spurerhaltend, da

${\displaystyle {\rm {{Spur}\{\Lambda [\rho ]\}=\sum _{\alpha }{\rm {{Spur}\{K_{\alpha }\rho .K_{\alpha }^{\dagger }\}=\sum _{\alpha }{\rm {{Spur}\{K_{\alpha }^{\dagger }K_{\alpha }\rho \}={\rm {{Spur}\{\rho \}.}}}}}}}}}$

Hier w​urde ausgenutzt, d​ass die Spur linear u​nd invariant u​nter zyklischem Vertauschen d​er Elemente ist.

Positivitätserhaltung

Die Terme der Form ${\displaystyle K_{\alpha }\rho K_{\alpha }^{\dagger }}$ sind positivitätserhaltend, da ein neuer Zustand ${\displaystyle |\phi \rangle =K_{\alpha }^{\dagger }|\psi \rangle }$ definiert werden kann und dann folgendes gilt:

${\displaystyle {\big \langle }\psi {\big |}K_{\alpha }\rho K_{\alpha }^{\dagger }{\big |}\psi {\big \rangle }=\left\langle \phi \right|\rho \left|\phi \right\rangle \geq 0\quad \forall \left|\psi \right\rangle \in {\mathcal {H}}.}$

Damit ist ${\displaystyle \textstyle \Lambda [\rho ]=\sum _{\alpha }K_{\alpha }\rho K_{\alpha }^{\dagger }}$ als Summe positiv-semidefiniter Terme ebenfalls positiv-semidefinit.

Vollständige Positivität

Positivitätserhaltung genügt jedoch nicht um ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ zu einer physikalisch sinnvollen Abbildung zu machen. Die Positivität des Zustands muss auch erhalten bleiben, wenn das System, auf das ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ wirkt mit einem anderen System, das keiner Dynamik unterliegt verschränkt ist. Das heißt, es muss gelten dass ${\displaystyle \textstyle \Lambda \otimes \mathrm {Id} _{2}[\rho _{12}]\geq 0}$ für alle ${\displaystyle \rho \geq 0}$. Diese Eigenschaft wird als vollständige Positivität bezeichnet. Nicht alle positivitätserhaltenden Abbildungen sind vollständig positiv (ein Gegenbeispiel ist Transposition) und nur vollständig positive Abbildungen haben eine Kraus-Darstellung.

Einzelnachweise

1. Angel Rivas, Susana F. Huelga: Open quantum systems. Berlin: Springer, 2012. doi:10.1007/978-3-642-23354-8