Kramers-Moyal-Entwicklung

Die Kramers-Moyal-Entwicklung ist in der Physik eine Taylor-Entwicklung einer Mastergleichung, welche die Mastergleichung als Integro-Differentialgleichung in eine partielle Differentialgleichung umformt. Entwickelt wird dabei nach der Schrittgröße ${\displaystyle \Delta x}$:[1][2]

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}{\Big [}a_{n}(x)p(x,t){\Big ]}}$

mit

${\displaystyle a_{n}(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\Delta x)^{n}W(x,\Delta x)\,\mathrm {d} (\Delta x)}$

Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort ${\displaystyle x}$ abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$. Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum ${\displaystyle \Delta x=x-x'}$ und Zeit ${\displaystyle \Delta t}$ betrachtet. ${\displaystyle W(x,\Delta x):=W(x'|x)}$ ist die Übergangswahrscheinlichkeitsrate. Abbruch der Reihe in zweiter Ordnung ergibt die Fokker-Planck-Gleichung.

Die Entwicklung i​st nach Hendrik Anthony Kramers u​nd José Enrique Moyal benannt.

Das Pawula-Theorem besagt, dass falls das dritte Glied der Entwicklung verschwindet, auch alle höheren Terme verschwinden. Falls die Entwicklung nicht mit dem dritten Glied abbricht, enthält sie unendlich viele Beiträge[3]. .

Einzelnachweise

1. Wolfgang Paul, Jörg Baschnagel: Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer, 2013, ISBN 3-319-00327-5, S. 47 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. Jochen Veith: Bewertung von Optionen unter der Coherent Market Hypothesis. Springer, 2006, ISBN 3-8350-0419-0, S. 28 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
3. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications, Hannes Risken, Seite 70, https://books.google.de/books?id=dXvpCAAAQBAJ&lpg=PA70&ots=1IZwvn5hYJ&dq=Pawula-Theorem&hl=de&pg=PA70#v=onepage&q=Pawula-Theorem&f=false