Kotangentialraum

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist der Kotangentialraum ein Vektorraum, der einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ zugeordnet wird. Es ist der Dualraum des entsprechenden Tangentialraums.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle T_{p}M}$ ihr Tangentialraum am Punkt ${\displaystyle p\in M}$. Dann ist der Kotangentialraum definiert als der Dualraum von ${\displaystyle T_{p}M}$. Das heißt, der Kotangentialraum besteht aus allen Linearformen auf dem Tangentialraum ${\displaystyle T_{p}M}$.

Alternative Definition

Im Folgenden w​ird ein anderer Zugang dargestellt, b​ei dem d​er Dualraum direkt definiert wird, o​hne Bezugnahme a​uf den Tangentialraum.

Diesem Zugang l​iegt folgende Idee zugrunde. Man l​egt eine Kurve i​n die Mannigfaltigkeit u​nd macht Aussagen darüber, w​ie sich Werte e​iner Funktion, d​ie ebenfalls a​uf der Mannigfaltigkeit definiert ist, b​eim Durchlaufen d​er Kurve, u​nd zwar a​n einem Punkt p, verändern. Man betrachtet d​as Geschehen i​m Bildbereich e​iner Kartenabbildung.

Es sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Weiter seien ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ die Menge aller glatten Kurven durch ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle c\colon (-\epsilon ,\epsilon )\to M\,,\qquad c(0)=p}$

und ${\displaystyle C_{p}^{\infty }}$ die Menge aller glatten Funktionen, die in einer Umgebung ${\displaystyle U_{p}}$ von ${\displaystyle p}$ definiert sind:

${\displaystyle f\colon U_{p}\to \mathbb {R} }$.

Bezeichnet man mit ${\displaystyle \sim _{p}}$ folgende Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle C_{p}^{\infty }}$

${\displaystyle f\sim _{p}g\qquad$ :\Leftrightarrow \qquad \exists U_{p}} Umgebung von ${\displaystyle p}$ mit ${\displaystyle f|U_{p}=g|U_{p}}$,

dann ist der Faktorraum ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}:=C_{p}^{\infty }/\sim _{p}}$ der Vektorraum der Keime über ${\displaystyle p}$. Über

${\displaystyle \langle [f]_{p},c\rangle$ :={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\Big |}_{t=0}f\circ c(t)}

wird dann eine formale Paarung ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ :{\mathcal {F}}_{p}\times \Gamma _{p}\to \mathbb {R} } definiert, die in der ersten Komponente linear ist. Nun ist

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{p}:=\{[n]_{p}\in {\mathcal {F}}_{p}|\forall c\in \Gamma _{p}:\langle [n]_{p},c\rangle =0\}}$

ein linearer Unterraum von ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$, genauer gesagt der Nullraum bzgl. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ und

${\displaystyle T_{p}^{*}M:={\mathcal {F}}_{p}/{\mathcal {N}}_{p}}$

ist der ${\displaystyle n}$-dimensionale Kotangentialraum im Punkt ${\displaystyle p\in M}$. Für den Kotangentialvektor ${\displaystyle [[f]_{p}]}$ schreibt man auch ${\displaystyle df_{p}}$.

Zusammenhang zum Tangentialraum

Mit der obigen Definition kann man auf ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ eine Äquivalenzrelation ${\displaystyle \sim }$ wie folgt definieren:

${\displaystyle \gamma _{1}\sim \gamma _{2}\qquad \Leftrightarrow \qquad \forall df_{p}\in T_{p}^{*}M:\langle df_{p},\gamma _{1}\rangle =\langle df_{p},\gamma _{2}\rangle }$

Der Faktorraum ${\displaystyle T_{p}M:=\Gamma _{p}/\sim }$ beschreibt gerade den ${\displaystyle n}$-dimensionalen Tangentialraum.

Bilden nun ${\displaystyle dx_{1},\ldots ,dx_{n}}$ eine Basis von ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$, so kann man zu jedem Basisvektor einen Repräsentanten ${\displaystyle x_{i}\in C_{p}^{\infty }}$ auswählen. ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\colon M\to \mathbb {R} ^{n}}$ ist eine differenzierbare Karte und für jedes ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ kann man eine Kurve

${\displaystyle {\begin{matrix}\gamma _{i}\colon &(-\epsilon$ ;\epsilon )&\to &M\\&t&\mapsto &x^{-1}(t\cdot e_{i})\end{matrix}}}

definieren, wobei ${\displaystyle e_{i}}$ der ${\displaystyle i}$-te Einheitsvektor im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist. Wegen

${\displaystyle \langle dx_{i},[\gamma _{j}]\rangle =\delta _{ij}}$

sind ${\displaystyle T_{p}M}$ und ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$ dual zueinander und man schreibt für ${\displaystyle [\gamma _{i}]={dx_{i}}^{*}}$ auch ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$.

Rechtfertigung der Schreibweisen

Sei ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ eine beliebige Funktion und für ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ die Kurven ${\displaystyle \gamma _{i}\colon t\mapsto p+h\cdot e_{i}}$, wobei ${\displaystyle e_{i}}$ die kanonischen Basisvektoren sind. Dann ist in den obigen Schreibweisen:

${\displaystyle \langle [f]_{p},[\gamma _{i}]\rangle ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\Big |}_{t=0}f\circ \gamma _{i}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(p+h\cdot e_{i})-f(p)}{h}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(p)}$

Somit ist die Schreibweise ${\displaystyle [\gamma _{i}]={\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ gerechtfertigt.

Weiter ist mit ${\displaystyle T_{p}M=\mathbb {R} ^{n}}$ die lineare Abbildung ${\displaystyle \langle [[f]_{p}],\cdot \rangle \colon T_{p}M\to \mathbb {R} }$ gerade das totale Differential ${\displaystyle df(p)}$. Somit ist also auch die Schreibweise ${\displaystyle [[f]_{p}]=df_{p}}$ gerechtfertigt.

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.
• R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7.