Konvergenzmodul

In d​er reellen Analysis i​st ein Konvergenzmodul e​ine Funktion, welche angibt, w​ie schnell e​ine konvergente Folge konvergiert. Konvergenzmoduln werden o​ft in d​er berechenbaren Analysis u​nd konstruktiven Mathematik verwendet.

Wenn eine Folge reeller Zahlen ${\displaystyle (x_{i})}$ gegen eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ konvergiert, dann gibt es nach Definition für jedes reelle ${\displaystyle \epsilon >0}$ eine natürliche Zahl ${\displaystyle N}$ so, dass ${\displaystyle \left|x-x_{i}\right|<\epsilon }$, falls ${\displaystyle i>N}$. Ein Konvergenzmodul ist im Wesentlichen eine Funktion, die bei gegebenem ${\displaystyle \epsilon }$ einen entsprechenden Wert von ${\displaystyle N}$ berechnet.

Definition

Sei ${\displaystyle (x_{i})}$ einen konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert ${\displaystyle x}$. Es gibt zwei Arten, einen Konvergenzmodul als eine Funktion von den natürlichen Zahlen in die natürlichen Zahlen zu definieren:

• Als eine Funktion ${\displaystyle f(n)}$ so, dass für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt: wenn ${\displaystyle i>f(n)}$, dann ${\displaystyle \left|x-x_{i}\right|<1/n}$.
• Als eine Funktion ${\displaystyle g(n)}$ so, dass für alle ${\displaystyle n}$ gilt: wenn ${\displaystyle i\geq j>g(n)}$, dann ${\displaystyle \left|x_{i}-x_{j}\right|<1/n}$. (Diese existiert, da jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.)

Die letztere Definition wird oft in konstruktiven Szenarien eingesetzt, wobei der Grenzwert ${\displaystyle x}$ unter Umständen mit der konvergenten Folge identifiziert wird. Manche Autoren verwenden eine alternative Definition, die ${\displaystyle 1/n}$ durch ${\displaystyle 2^{-n}}$ ersetzt.

Einzelnachweise

• Klaus Weihrauch (2000), Computable Analysis.