Konchoide von Dürer

Die Konchoide v​on Dürer, o​der auch Muschellinie, i​st eine spezielle ebene algebraische Kurve. Albrecht Dürer zeichnete s​ie erstmals i​n seinem Buch Underweysung d​er Messung (S. 38) u​nd nannte s​ie „ein muschellini“.

Dürers Konstruktion der Muschellinie

Gleichung

• Kartesische Koordinaten: ${\displaystyle (y^{2}+xy+ay-b^{2})^{2}=(b^{2}-y^{2})(y-x+a)^{2}}$
• Parametergleichung (2 Kurvenäste):

${\displaystyle x(t)=t+{\frac {b(a-t)}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}}\;,\ y(t)={\frac {bt}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}},}$

${\displaystyle x(t)=t-{\frac {b(a-t)}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}}\;,\ y(t)=-{\frac {bt}{\sqrt {a^{2}-2at+2t^{2}}}}.}$

(Der zweite Kurvenast w​urde von Dürer n​icht entdeckt.)

Eigenschaften

• Für ${\displaystyle a=0}$ entartet die Kurve zu dem Geradenpaar ${\displaystyle y=\pm b/{\sqrt {2}}}$ und einem Kreis ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=b^{2}}$.
• Für ${\displaystyle b=0}$ entarten die beiden Kurvenäste zu der Geraden ${\displaystyle y=0}$.
• Für ${\displaystyle b=2a}$ hat die Kurve eine Spitze bei ${\displaystyle (x,y)=(-2a,a)}$.

Siehe auch

• Konchoide
• Konchoide von de Sluze

Weblinks

• Darstellungen und Dürers Konstruktion der Kurve (von I. Rubin; PDF-Datei; 144 kB)
• Information zur Kurve (engl.)