Kommakategorie

Eine Kommakategorie i​st eine Konstruktion i​n der mathematischen Kategorientheorie, d​ie 1963 v​on F. W. Lawvere eingeführt wurde. Der Name ergibt s​ich aus d​er ursprünglich v​on Lawvere verwendeten Notation.

Definition

Für d​ie allgemeinste Konstruktion d​er Kommakategorie betrachtet m​an zwei Funktoren. Typischerweise i​st einer v​on beiden a​uf der terminalen Kategorie definiert: v​iele kategorientheoretische Darstellungen betrachten n​ur diesen Fall.

Seien ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ Kategorien, ${\displaystyle T}$ und ${\displaystyle S}$ Funktoren ${\displaystyle {\mathcal {A}}{\xrightarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal {C}}{\xleftarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal {B}}}$. Die Kommakategorie ${\displaystyle (T\downarrow S)}$ ist folgendermaßen definiert:

• Die Objekte sind Tripel ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$, wobei ${\displaystyle \alpha }$ Objekt in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle \beta }$ Objekt in ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ und ${\displaystyle f:T(\alpha )\rightarrow S(\beta )}$ Pfeil in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist.
• Die Pfeile von ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$ nach ${\displaystyle (\alpha ',\beta ',f')}$ sind Paare ${\displaystyle (g,h)}$, wobei ${\displaystyle g\colon \alpha \rightarrow \alpha '}$ und ${\displaystyle h\colon \beta \rightarrow \beta '}$ jeweils Pfeile in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ sind, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

${\displaystyle {\begin{matrix}T(\alpha )&{\xrightarrow {T(g)}}&T(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\S(\beta )&{\xrightarrow[{S(h)}]{}}&S(\beta ')\end{matrix}}}$

Die Verkettung von Pfeilen ist durch ${\displaystyle (g,h)\circ (g',h'):=(g\circ g',h\circ h')}$ definiert.[1]

Spezialfälle

Kategorie der Objekte unter A

Der erste Spezialfall tritt ein, wenn ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\boldsymbol {1}}}$ terminal (d. h. es gibt genau ein Objekt und dessen Identität ist der einzige Morphismus) und ${\displaystyle S}$ identischer Funktor ist (also ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$). Dann ist in obiger Definition ${\displaystyle T(\alpha )=A}$ für ein festes Objekt ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Die diesbezügliche Kommakategorie heißt Kategorie der Objekte unter ${\displaystyle A}$, geschrieben ${\displaystyle (A\downarrow {\mathcal {C}})}$. Die Objekte ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$ können kurz ${\displaystyle (\beta ,f)}$ notiert werden, da die Festlegung von ${\displaystyle A}$ die Angabe von ${\displaystyle \alpha }$ überflüssig macht; ${\displaystyle f:T(\alpha )\rightarrow S(\beta )}$ notieren wir kurz als ${\displaystyle f:A\rightarrow \beta }$ - oft wird ${\displaystyle f}$ auch ${\displaystyle i_{\beta }}$ genannt, insbesondere, wenn es sich um Injektionen handelt. Ähnlich können wir die Darstellung eines Pfeils ${\displaystyle (g,h):(B,i_{B})\rightarrow (B',i_{B'})}$ auf ${\displaystyle h:B\rightarrow B'}$ reduzieren, da ${\displaystyle g}$ stets als ${\displaystyle id_{A}}$ gewählt wird. Das folgende Diagramm kommutiert:

${\displaystyle (A,id_{A})}$ ist ein Anfangsobjekt von ${\displaystyle (A\downarrow {\mathcal {C}})}$. Ist ${\displaystyle A}$ bereits ein Anfangsobjekt von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, so ist ${\displaystyle (A\downarrow {\mathcal {C}})}$ isomorph zu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Beispiele:

• Die Kategorie der punktierten topologischen Räume ist isomorph zur Kategorie der topologischen Räume unter einem fest gewählten einpunktigen Raum.

• Die Kategorie der kommutativen, unitären ${\displaystyle k}$-Algebren für einen Körper ${\displaystyle k}$ ist isomorph zur Kategorie der kommutativen, unitären Ringe unter ${\displaystyle k}$.

Kategorie der Objekte über A

Analog können wir ${\displaystyle T}$ identisch und ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ terminal wählen. Wir erhalten dann die Kategorie der Objekte über ${\displaystyle A}$ (wobei ${\displaystyle A}$ das durch ${\displaystyle S}$ ausgewählte Objekt von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ist). Diese Kommakategorie notieren wir als ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\downarrow A)}$; in der algebraischen Geometrie ist die Bezeichnung ${\displaystyle {\mathcal {C}}/A}$ üblich. Sie ist das duale Konzept zu Objekten unter ${\displaystyle A}$. Die Objekte sind Paare ${\displaystyle (\beta ,\pi _{\beta })}$ mit ${\displaystyle \pi _{\beta }:\beta \rightarrow A}$; dabei steht ${\displaystyle \pi }$ für Projektion auf ${\displaystyle A}$. Ein Pfeil in der Kommakategorie mit Quelle ${\displaystyle (B,\pi _{B})}$ und Ziel ${\displaystyle (B',\pi _{B'})}$ wird durch eine Abbildung ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$ gegeben, die das folgende Diagramm kommutieren lässt:

${\displaystyle A}$ ist ein Endobjekt von ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\downarrow A)}$. Ist ${\displaystyle A}$ bereits ein Endobjekt von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, so ist ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\downarrow A)}$ isomorph zu ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Einzelnachweise

1. Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. Springer, New York 1998, ISBN 0-387-98403-8, Kap. II.6: Comma Categories