Kleisli-Kategorie

Eine Kleisli-Kategorie i​st eine Kategorie, d​ie sich a​uf natürliche Weise a​us einer Monade ergibt. Sie i​st benannt n​ach dem Schweizer Mathematiker Heinrich Kleisli.

Definition

Sei ${\displaystyle C}$ eine Kategorie und ${\displaystyle M=(T,\mu ,\eta )}$ eine Monade, mit ${\displaystyle T\colon C\to C}$ als Endofunktor und ${\displaystyle \mu \colon T^{2}\to T}$ , ${\displaystyle \eta \colon 1\to T}$ als die auf ihm festgelegten Monoid-Operationen. Die zu ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle M}$ gehörende Kleisli-Kategorie wird im Folgenden als ${\displaystyle C_{M}}$ bezeichnet. Die Objekte und Morphismen in ihr sind

• ${\displaystyle \operatorname {Ob} (C_{M})=\operatorname {Ob} (C)}$ , sowie
• ${\displaystyle \operatorname {Mor} _{C_{M}}(X,Y)=\operatorname {Mor} _{C}(X,T(Y))}$ .

Identitätsmorphismen u​nd Verkettung sind

• ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}=\eta _{A}}$ und
• ${\displaystyle f\circ _{C_{M}}g=\mu \circ _{C}T(f)\circ _{C}g}$ .

Beispiele

• Korrespondenzen bilden eine Kleisli-Kategorie. Der Endofunktor auf Set ist hier Potenzmengenbildung, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ , mit ${\displaystyle {\mathcal {P}}(f)(A)=\{f(a)|a\in A\}}$ .

Literatur

• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. 5). 2nd edition. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8.