Kinetische Monte-Carlo-Methode

Die kinetische Monte-Carlo-Methode ist eine hybride Monte-Carlo-Methode und besitzt als Input die Raten von Zustandsübergängen, womit (indirekt) die Zeit modelliert wird. Die kinematische Monte-Carlo-Methode und die dynamische Monte-Carlo-Methode sind weitgehend ident.[1] Verwandt ist auch der Gillespie-Algorithmus.

Für d​ie Phasenübergangsrate w​ird die sogenannte Mastergleichung[2] verwendet:[2]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {P}}_{\alpha }(t)}{\mathrm {d} t}}=\left(\sum _{\beta \neq \alpha }W_{\alpha \beta }\cdot {\mathcal {P}}_{\beta }(t)\right)-\sum _{\beta \neq \alpha }W_{\beta \alpha }\cdot {\mathcal {P}}_{\alpha }(t)}$

Zurückweisungslose kinetische Monte-Carlo-Simulation

Vorgangsweise b​ei der zurückweisungslosen kinetischen Monte-Carlo-Simulation:[3][4]

1. Man definiert die Ausgangslage ${\displaystyle k}$ der Atome zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$[3][4]
2. Von allen ${\displaystyle N_{k}}$ möglichen Übergängen in den nächsten Zustand ${\displaystyle i}$ werden die Übergangsraten ${\displaystyle r_{k,i}\geq 0}$ berechnet, wobei für Übergänge, die nicht eintreten, ${\displaystyle r_{k,i}=0}$ gilt.
3. Man bildet die Partialsumme ${\displaystyle R_{k,i}}$ der Übergangsraten: ${\displaystyle R_{k,i}=\sum _{j=1}^{i}r_{k,j}}$. Die Gesamtsumme der Übergangsraten ist ${\displaystyle Q_{k}=R_{k,N_{k}}=\sum _{j=1}^{N_{k}}r_{k,j}}$.[4]
4. Die Zustände werden mit einer Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle 0\leq {\frac {r_{k,i}}{Q_{k}}}\leq 1}$ angenommen.
   • Man bestimmt eine Zufallszahl ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$,[4] es wird jener Übergang ${\displaystyle r_{k,i}}$ gewählt, für den gilt: ${\displaystyle R_{k,i-1}<\alpha \cdot Q_{k}\leq R_{k,i}}$[4]
5. Die Zeit wird auf ${\displaystyle t_{i}=t_{k}+\Delta t}$ gesetzt, mit ${\displaystyle \Delta t={\frac {ln(1/a)}{Q_{k}}},}$[4][5] wobei ${\displaystyle a}$ eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 ist.[4]
6. Man wiederholt die Schritte 2–5, bis das Abbruchkriterium erfüllt ist.

Einzelnachweise

1. David Holec: 308.882 atomistic materials modelling. TU Wien, Wien November 2016 (tuwien.ac.at [abgerufen am 28. November 2016] techreport).
2. Frank Michael Kuhn: Kinetische Monte Carlo - Simulationen von Reaktionen auf geträgerten Nanopartikeln. Hrsg.: O. Deutschmann, L. Kunz, S. Tischer. Institut für Technische Chemie und Polymerchemie der Fakultät für Chemie und Biowissenschaften; Karlsruher Institut für Technologie, Karlsruhe 8. November 2011, Kap. 2.2, S. 7–24 (73 S., PDF [abgerufen am 4. Juli 2017] Diplomarbeit).
3. Johannes Schlundt: Modellierung und Simulation Monte-Carlo-Simulation. (PDF) Universität Hamburg, 7. Januar 2013, S. 19–21, abgerufen am 4. Juli 2017.
4. Johannes Schlundt: Schriftliche Ausarbeitung zum Vortrag Monte-Carlo-Simulation. (PDF) Universität Hamburg, 20. März 2013, S. 9–10, abgerufen am 4. Juli 2017.
5. Alfred B. Bortz, Malvin H. Kalos, Joel L. Lebowitz: A new algorithm for Monte Carlo simulation of Ising spin systems. In: Sammelwerk of Computational Physics. Band 17, Nr. 1. Elsevier, 1975, ISSN 0021-9991, S. 10–18, doi:10.1016/0021-9991(75)90060-1, bibcode:1975JCoPh..17...10B.