Kernoperator

In d​er Mathematik versteht m​an unter d​em Kern e​iner Menge e​ine Teilmenge, d​ie klein g​enug ist, u​m bestimmte Anforderungen z​u erfüllen, u​nd zugleich d​ie größte Menge ist, d​ie diese Anforderungen erfüllt. Das wichtigste Beispiel i​st der offene Kern bzw. d​as Innere e​iner Teilmenge e​ines topologischen Raums. Kernoperator bezeichnet d​ie Vorschrift, d​urch die j​eder Menge v​on Objekten i​hr Kern zugeordnet wird. Die d​urch einen Kernoperator gegebene Kerne bilden e​in Kernsystem, a​lso ein Mengensystem m​it bestimmten Eigenschaften.

Definitionen

Kernoperatoren

Über einer gegebenen Grundmenge ${\displaystyle X}$ ist ein Kernoperator eine intensive, monotone, idempotente Abbildung ${\displaystyle K\colon \;{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$ auf der Potenzmenge von ${\displaystyle X}$, welche jeder Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ eine weitere Teilmenge von ${\displaystyle X}$, nämlich den Kern ${\displaystyle K(A)\subseteq X}$, zuordnet, wobei folgende Bedingungen erfüllt sind:

(It) Intensivität: ${\displaystyle K(A)\subseteq A}$, das heißt: Der Kern von ${\displaystyle A}$ ist mindestens in der Menge ${\displaystyle A}$ selbst enthalten.

(M) Monotonie bzw. Isotonie: ${\displaystyle A\subseteq B\ \Rightarrow \ K(A)\subseteq K(B)}$, das heißt: Wenn ${\displaystyle A}$ Teilmenge von ${\displaystyle B}$ ist, so gilt das entsprechend auch für ihre Kerne.

(Ip) Idempotenz: ${\displaystyle K(K(A))=K(A)}$, das heißt: Bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so bleibt dieser unverändert.

Aufgrund der beiden anderen Anforderungen genügt es auch an Stelle der Idempotenz nur ${\displaystyle K(A)\subseteq K(K(A))}$ zu fordern, das heißt: bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so wird nichts mehr weggenommen.

Äquivalent zu den drei genannten Einzelforderungen ist folgende. ${\displaystyle K\colon \;{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$ heißt Kernoperator, wenn für alle ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ gilt:

(Ok): ${\displaystyle K(A)\subseteq K(B)\Longleftrightarrow K(A)\subseteq B}$.

Kernsysteme

Ein Kernsystem ist ein unter beliebiger Vereinigungsmengenbildung abgeschlossenes Mengensystem, d. h. ein Kernsystem über einer Menge ${\displaystyle X}$ ist eine aus Teilmengen der Grundmenge ${\displaystyle X}$ bestehende Menge ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ mit folgenden Eigenschaften:

(Sk₀): ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ enthält die leere Menge: ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {S}}}$.

(Sk₁): Für jede nichtleere Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist die Vereinigung der Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ein Element aus ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, oder kurz: ${\displaystyle \forall \;{\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}},\,{\mathcal {T}}\neq \emptyset \colon \;\bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}$.

Wegen ${\displaystyle \bigcup \emptyset =\emptyset }$ lassen sich die beiden genannten Bedingungen zu einer einzigen äquivalenten Bedingung vereinfachen:

(Sk): Für jede Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist die Vereinigung der Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ein Element aus ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, oder kurz: ${\displaystyle \forall \;{\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}\colon \;\bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}$.

Zusammenhang zwischen Kernsystemen und Kernoperatoren

Kernsysteme u​nd Kernoperatoren entsprechen einander:

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ein Kernsystem über ${\displaystyle X}$, dann kann man einen Kernoperator ${\displaystyle K_{\mathcal {S}}}$ auf ${\displaystyle X}$ wie folgt definieren:

${\displaystyle K_{\mathcal {S}}(A):=\bigcup \{Y\in {\mathcal {S}}\mid Y\subseteq A\}}$ für alle ${\displaystyle A\subseteq X}$.

• Umgekehrt kann aus jedem Kernoperator ${\displaystyle K}$ auf ${\displaystyle X}$ ein Kernsystem ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K}}$ über ${\displaystyle X}$ gewonnen werden:

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K}:=\{K(A)\mid A\subseteq X\}}$.

Beispiel

• Die offenen Mengen eines topologischen Raumes bilden ein Kernsystem, nämlich die Topologie des Raumes. Der zugehörige Kernoperator ist die Bildung des Inneren einer Teilmenge.

Siehe auch

• Hüllenoperator

Literatur

• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.